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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 10

Dados A, C e F, números positivos, considere as equações ±   A x ²   ±   C y ²   =   ±   F . Escolhendo os sinais + e − das oito maneiras poss´ıveis, mostre que em cada caso se obtém uma elipse, uma hipérbole ou o conjunto vazio. Nos casos de elipse, determine os vértices e focos; nos casos de hipérbole, ache os focos e as assíntotas.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente temos que escrever as oito possibilidades sugeridas pelo exercício!

±   A x ²   ±   C y ²   =   ±   F

1 º Possiblidade

+ A x 2 +   C y 2 =   + F

2 º Possiblidade

- A x 2 +   C y 2 =   + F

3 º Possiblidade

+ A x 2 -   C y 2 =   + F

4 º Possiblidade

+ A x 2 +   C y 2 =   - F

5 º Possiblidade

- A x 2 -   C y 2 =   F

6 º Possiblidade

- A x 2 +   C y 2 =   - F

7 º Possiblidade

+ A x 2 -   C y 2 =   - F

8 º Possiblidade

- A x 2 -   C y 2 =   - F

Até ai tranquilo?

Passo 2

Dadas as possibilidades escritas no passo anterior sendo:

Elipse as possibilidades 1 º ,   4 º   e   8 °

Hipérbole as possibilidades 7 º ,   3 º   e   6 º

Conjunto vazio as possibilidades 2 º   e   5 º

Vamos encontrar os focos das elipses!

Passo 3

Elipse as possibilidades 1 º ,   4 º   e   8 °

1 º Possiblidade

+ A x 2 +   C y 2 =   + F

4 º Possiblidade

+ A x 2 +   C y 2 =   - F

8 º Possiblidade

- A x 2 -   C y 2 =   - F

Para encontrar os elementos da elipse depois dos coeficientes dados temos que completar quadrado, mas podemos generalizar!

Para os focos temos que:

F ( ± c , 0 )

Para os vértices temos que:

V 1   ± a , 0   e   V 2 ( 0 , ± b   )

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Elipse as possibilidades 1 º ,   4 º   e   8 °

Hipérbole as possibilidades 7 º ,   3 º   e   6 º

Conjunto vazio as possibilidades 2 º   e   5 º

Para os focos temos que:

F ( ± c , 0 )

Para os vértices temos que:

V 1   ± a , 0   e   V 2 ( 0 , ± b   )

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.10. y 2 - 4 x 2 = 1
13. Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro 0 ,0 , eixo real sobre O x e excentricidade:b) 3 2
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.3. 16 x 2 - 25 y 2 - 400 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.9. y 2 - x 2 = 2
13. Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro 0 ,0 , eixo real sobre O x e excentricidade:a) 5 3