Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.

10. y 2 - 4 x 2 = 1

Passo 1

Então galera, antes de começarmos com a resolução devemos extrair duas informações sobre a equação que nos foi dada, que são os fatores a e b da equação! Mas que fatores são esses? Então, de acordo com o que estudamos a equação de uma hipérbole pode ter dois formatos:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Ou:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

A equação que nos foi dada é essa aqui:

y 2 - 4 x 2 = 1

Simplificando para escrevermos no formato padrão:

y 2 - x 2 1 4 = 1

Que condiz com o segundo formato, certo? Então se compararmos os denominadores, teremos:

a 2 = 1 ∴ a = 1

b 2 = 1 4 ∴ b = 1 2

Ok, encontramos a e b ! Agora podemos iniciar a resolução de fato, então bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos os vértices da hipérbole é de boa! Nesse caso eles são dados pelos pontos:

0 ,   - a   e   0 ,   a

Como a = 1 , então nossos vértices serão:

V é r t i c e s : 0 ,   - 1   e   0 ,   1

Ademais, para encontrarmos os focos da hipérbole também é bem tranquilão, galera! Basta que encontremos o c da nossa equação utilizando o Teorema de Pitágoras, pois os focos, para a equação nesse formato, são dados pelos pontos:

0 ,   - c   e   0 ,   c

Aplicando o Teorema:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 1 + 1 4

∴ c = 5 2

Então nossos focos serão:

F o c o s :   0 ,   - 5 2   e   0 ,   5 2

Show! Metade do caminho foi concluído, agora vamos para o final!

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole é dada pela seguinte razão:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

e = 5 2

Por fim, para determinarmos as equações das assíntotas, temos que utilizar as relações:

y 1 = a b x   e   y 2 = - a b x

Substituindo os valores, teremos:

y 1 = 2 x   e   y 2 = - 2 x

Esboçando essa hipérbole, teremos o seguinte, galera:

No qual as curvas em vermelho é a hipérbole e as linhas tracejadas em preto são as assíntotas. E está aí nossa resolução!

Resposta

V é r t i c e s : 0 ,   - 1   e   0 ,   1

F o c o s :   0 ,   - 5 2   e   0 ,   5 2

E x c e n t r i c i d a d e :   e = 5 2

A s s í n t o t a s :   y 1 = 2 x   e   y 2 = - 2 x

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A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .