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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 9

Mostre que x =   a cos ⁡ t , y =   sin ⁡ t cos ⁡ t equações paramétricas de uma hipérbole. Qual é o domínio da variável t e quais são os focos dessa hipérbole?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando a equação da hipérbole:

X 2 a ² - y 2 b ² =   1  

Para começar a parametrização vamos usar a relação trigonométrica s e c 2 θ - t g 2 θ = 1

Realizando a comparação x 2 = s e c 2 θ   ; y 2 = t g 2 θ teremos uma nova equação para a hipérbole agora escrita como:

s e c ² θ a ² - t g ² θ b ² =   1  

Como   sec ⁡ θ = 1 c o s θ e t g θ = s e n θ c o s θ ; podemos afirmar que:

x =   a cos ⁡ t e y =   sin ⁡ t cos ⁡ t

Até aí tranquilo?

Passo 2

Temos agora a equação paramétrica da hipérbole dada por:

s e c ² θ a ² - t g ² θ b ² =   1  

Vamos escrever o domínio então!

Não podemos esquecer que θ   ≠ π 2 , lembrando disso o domínio pode ser escrito como:

D   =   θ   ϵ   R     0   ≤   θ < 2 π   }

Vamos obter os focos utilizando a relação pitagórica descrita como:

C 2 =   a 2 + b ²

Lembrando que a   = x . c o s θ   e   b = x . c o s θ  

C 2 =   ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ²

C =   ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ²

Logo podemos escrever os focos desta hipérbole como

F = ( ± ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ² ,   0   )

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

D   =   θ   ϵ   R     0   ≤   θ < 2 π   }

F = ( ± ( x . c o s θ   ) 2 + ( x . c o s θ )   ² ,   0   )

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