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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 16

Dados v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) , w → = 0 ,   1 ,   - 1 e t → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , obtenha u → de norma de 5 , ortogonal a t → , tal que ( u → ,   v → ,   w → ) seja LD.

Passo 1

Devemos achar o vetor u → = ( x , y ,   z ) que seja ortogonal a t → = 2 ,   1 ,   - 1 :

x , y ,   z ⋅ 2 ,   1 ,   - 1 = 0 ⇒ 2 x + y - z = 0

Assim,

z = 2 x + y

Portanto,

u → = ( x ,   y ,   2 x + y )

Passo 2

Queremos também que o conjunto ( u → ,   v → ,   w → ) seja LD. Para isso, construímos um determinante com as coordenas e impomos que ele seja zero:

x 1 0 y 1 1 2 x + y 1 - 1 = 0

Desenvolvendo com relação a primeira linha:

x ⋅ - 1 - 1 - 1 ⋅ - y - 2 x - y + 0 = 0

Assim,

- 2 x + 2 x + 2 y = 0 ⇒ y = 0

Portanto,

u → = ( x ,   0 ,   2 x )

Passo 3

Por fim, queremos que a norma seja 5 :

x 2 + 2 x 2 = 5 ⇒ 5 x 2 = 5 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1

Portanto, os vetores são

- 1 ,   0 ,   - 2           e           ( 1 ,   0 ,   2 )

Resposta

- 1 ,   0 ,   - 2           e           ( 1 ,   0 ,   2 )

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