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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 19

Decomponha u → = ( 1 ,   0 ,   3 ) como soma dos vetores v → e w → tais que v → , ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( - 1 ,   1 ,   2 ) sejam LD e w → seja ortogonal aos dois últimos.

Passo 1

Vamos primeiro achar w → , que deve ser ortogonal a ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( - 1 ,   1 ,   2 ) :

x ,   y ,   z ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ x + y + z = 0

x ,   y ,   z ⋅ - 1 ,   1 ,   2 = 0 ⇒ - x + y + 2 z = 0

Somando as equações:

2 y + 3 z = 0 ⇒ z = - 2 y 3

Substituindo na primeira equação:

x + y - 2 y 3 = 0 ⇒ x = - y 3

Portanto,

w → = - y 3 ,   y , - 2 y 3 = y 3   - 1 ,   3 ,   - 2 = λ   ( - 1 ,   3 ,   - 2 )

Passo 2

Por outro lado, para que v → = ( a ,   b ,   c ) , ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( - 1 ,   1 ,   2 ) seja LD:

a 1 - 1 b 1 1 c 1 2 = 0

Portanto,

a ⋅ 2 - 1 - 1 ⋅ 2 b - c - 1 ⋅ b - c = 0

Assim,

a - 2 b + c - b + c = 0 ⇒ a - 3 b + 2 c = 0 ⇒ a = 3 b - 2 c

Logo,

v → = 3 b - 2 c ,   b ,   c

Passo 3

Devemos ter u → = v → + w → :

1 ,   0 ,   3 = 3 b - 2 c ,   b ,   c + - λ ,   3 λ ,   - 2 λ = ( 3 b - 2 c - λ ,   b + 3 λ ,   c - 2 λ )

Portanto,

3 b - 2 c - λ = 1 b + 3 λ = 0 c - 2 λ = 3

Temos que b = - 3 λ e c = 2 λ + 3 . Substituindo na primeira equação:

- 9 λ - 2 2 λ + 3 - λ = 1 ⇒ - 14 λ = 7 ⇒ λ = - 1 2

Portanto,

b = 3 2           e             c = - 1 + 3 = 2

Assim,

v → = 1 2 , 3 2 ,   2                 e             w → = 1 2 ,   - 3 2 ,   1

Resposta

v → = 1 2 , 3 2 ,   2                 e             w → = 1 2 ,   - 3 2 ,   1

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