Dados os planos e , determine o plano que contém e é ortogonal ao vetor (-1, 1, -1).
Passo 1
Nos foi dado que o vetor (-1, 1, -1) é ortogonal ao plano, isto é, é normal ao plano. Podemos, então, escrevê-lo como N = (-1, 1, -1).
A equação cartesiana do plano é dada por:
ax + by + cz + d = 0
Substituindo os valores do vetor normal por a, b e c:
-x + y - z + d = 0
Passo 2
Montando um sistema com as equações dos planos:
Resolvendo de forma matricial por escalonamento:
Ou seja:
Sendo o resultado do sistema:
Para z = 0:
Passo 3
Dessa forma, podemos afirmar que um ponto P = (0, 1, 0) pertence aos planos . Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto P na equação do plano, tal que:
-x + y - z + d = 0
0 + 1 + 0 + d = 0
d = -1
Resposta
-x + y - z - 1 = 0
x - y + z + 1 = 0