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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 10

Dados os planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e π 2 : x + y - z - 1 = 0 , determine o plano que contém π 1 ∩ π 2 e é ortogonal ao vetor (-1, 1, -1).

Passo 1

Nos foi dado que o vetor (-1, 1, -1) é ortogonal ao plano, isto é, é normal ao plano. Podemos, então, escrevê-lo como N = (-1, 1, -1).

A equação cartesiana do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0

Substituindo os valores do vetor normal por a, b e c:

-x + y - z + d = 0

Passo 2

Montando um sistema com as equações dos planos:

x - y + z = - 1   x + y - z = 1

Resolvendo de forma matricial por escalonamento:

1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 → 1 - 1 1 0 2 - 2 - 1 2 → 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 → 1 0 0 0 1 - 1 0 1

Ou seja:

x = 0   y - z = 1

Sendo o resultado do sistema:

X =   0 z + 1 z

Para z = 0:

X ' =   0 1 0

Passo 3

Dessa forma, podemos afirmar que um ponto P = (0, 1, 0) pertence aos planos π 1 ,   π 2 . Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto P na equação do plano, tal que:

-x + y - z + d = 0

0 + 1 + 0 + d = 0

d = -1

Resposta

-x + y - z - 1 = 0

x - y + z + 1 = 0

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