Dados os vetores a → = 2 ,1 ,α , b → = α + 2 ,- 5 ,2 e c → = 2 α ,8 ,α , determinar o valor de α para que o vetor a → + b → seja ortogonal ao vetor c → - a → .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 16

Dados os vetores , e , determinar o valor de para que o vetor seja ortogonal ao vetor .

Passo 1

Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

No qual é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de e , então temos o seguinte:

Show! No nosso caso, a questão diz que é ortogonal a , então teremos isso aqui ó:

E como a questão nos cede todos esses vetores, então basta substituirmos cada coisa no seu lugar e ir manipulando para ver no que chegamos, beleza? Bora que bora!

Passo 2

Temos que:

Substituindo, teremos:

Agora temos que realizar o produto escalar, isto é, multiplicar componente por componente, saca só:

Fazendo a distributiva, teremos:

Dividindo tudo por :

Daora, galera! Chegamos em uma equação do segundo grau no qual nossa variável é , que é exatamente o que queremos descobrir! Sendo assim, basta resolvermos essa equação que nossa questão estará resolvida.