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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 16

Dados os vetores a → = 2 ,   1 ,   α , b → = α + 2 ,   - 5 ,   2 e c → = 2 α ,   8 ,   α , determinar o valor de α para que o vetor a → + b → seja ortogonal ao vetor c → - a → .

Passo 1

Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 ° e cos ⁡ 90 ° = 0 , então temos o seguinte:

u → ∙ v → = 0

Show! No nosso caso, a questão diz que a → + b → é ortogonal a c → - a → , então teremos isso aqui ó:

a → + b → ∙ c → - a → = 0

E como a questão nos cede todos esses vetores, então basta substituirmos cada coisa no seu lugar e ir manipulando para ver no que chegamos, beleza? Bora que bora!

Passo 2

Temos que:

a → = 2 ,   1 ,   α

b → = α + 2 ,   - 5 ,   2

c → = 2 α ,   8 ,   α

Substituindo, teremos:

a → + b → ∙ c → - a → = 0

2 ,   1 ,   α + α + 2 ,   - 5 ,   2 ∙ 2 α ,   8 ,   α - 2 ,   1 ,   α = 0

2 + α + 2 ,   1 - 5 ,   α + 2 ∙ 2 α - 2 ,   8 - 1 ,   a - α = 0

4 + α ,   - 4 ,   α + 2 ∙ 2 α - 2 ,   7 ,   0 = 0

Agora temos que realizar o produto escalar, isto é, multiplicar componente por componente, saca só:

4 + α . 2 α - 2 - 4.7 + α + 2 . 0 = 0

Fazendo a distributiva, teremos:

8 α - 8 + 2 α 2 - 2 α - 28 = 0

2 α 2 + 6 α - 36 = 0

Dividindo tudo por 2 :

α 2 + 3 α - 18 = 0

Daora, galera! Chegamos em uma equação do segundo grau no qual nossa variável é α , que é exatamente o que queremos descobrir! Sendo assim, basta resolvermos essa equação que nossa questão estará resolvida.

Passo 3

Achando nosso delta:

∆   = b 2 - 4 a c

∆   = 3 2 - 4.1 . - 18

∆   = 9 + 72 = 81

Utilizando Bhaskara, teremos:

α = - b ± ∆ 2 a = - 3 ± 9 2

E nossas duas raízes serão:

α 1 = - 3 + 9 2 = 3

α 2 = - 3 - 9 2 = - 6

E esses são os valores de α , galera! 😉

Resposta

α = 3 ou α = - 6

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