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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 25a

Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 ,     f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Os vetores e → 1 , e → 2   e   e → 3 são do tipo:

e → 1 = ( 1,0 , 0 )

e → 2 = ( 0,1 , 0 )

e → 3 = ( 0,0 , 1 )

Assim, os vetores f 1 → , f 2 →   e   f 3 → serão:

f 1 → = 1 , - 1,1 E

f 2 → = 0,1 , 1 E

f 3 → = 0,0 , - 2 E

Passo 2

Portanto, F será:

F = 1 , - 1,1 E , 0,1 , 1 E , 0,0 , - 2 E

Para que F também seja uma base, precisamos que:

d e t 1 - 1 1 0 1 1 0 0 - 2 ≠ 0

Resolvendo o determinante:

- 2 ≠ 0

Assim, concluímos que F é uma base.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Os ângulos diretores de um vetor a → são 45 ° , 60 ° e 120 ° e a → = 2 . Determinar a → .
Determinar o vetor v → nos seguintes casos: v → é ortogonal ao eixo O z , v → = 8 , forma ângulo de 30 ° com o vetor i → e ângulo obtuso com j → .
Determinar o vetor v → nos seguintes casos: v → é ortogonal ao eixo O x , v → = 2 , forma ângulo de 60 ° com o vetor j → e ângulo agudo com k → .
Mostrar que existe vetor cujos ângulos diretores são 30 ° , 90 ° e 60 ° , respectivamente, e determinar aquele que tem módulo 10 .
Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → . u → = 1,2 , - 2 e v → =