Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 20
Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano e que são ortogonais ao vetor .
Passo 1
Então galera, vamos considerar que o vetor que queremos tenha componentes do tipo:
De acordo com o enunciado, o vetor é paralelo ao plano , certo? Sendo assim, temos que a componente é nula, ou seja, . Show! Além disso, a questão nos diz que o vetor é ortogonal ao vetor , mas isso nos ajuda de que forma? De acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:
No qual é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de e , então temos o seguinte:
Então, para a nossa questão, temos que:
Então bora que bora destrinchar esse produto aí!
Passo 2
Realizando esse produto vetorial, teremos:
Show! Essa é a primeira equaçãozinha que encontramos! Como já encontramos o valor de , precisamos de uma outra equação em termos de e para criarmos um sisteminha a fim de encontrar essas incógnitas, ok? Massa!
O enunciado nos diz que o vetor é unitário, logo:
Ou seja:
Como :
Logo, encontramos outra equação em termos de e , então temos o seguinte sistema para resolver:
Vamo que vamo!
Passo 3
Da primeira equação conseguimos fazer:
Substituindo na segunda equação:
Que implica nos seguintes valores para :
Sendo assim, os nossos dois vetores unitários são:
Ou:
E essa é a nossa resolução, pessoal! 😉
Resposta
ou