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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 13

Dados os pontos A - 3,2 e B 5 , - 2 , determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento A B tais que A M - = 1 2 A B - e A N - = 2 3 A B - . Construir o gráfico, marcando os pontos A , B , M , N e P , em que P seja tal que A P - = 3 2 A B - .

Passo 1

Primeiro vamos ver graficamente esses pontos para analisar melhor:

Agora vamos determinar os pontos M e N , para M temos que:

A M - = 1 2 A B - → M - A = 1 2 B - A → M = 1 2 B - A + A

Vamos então substituir os pontos para encontrar M :

M = 1 2 B - A + A → M = 1 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ M = 1 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → M = 1 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ M = 1 2 8 , - 4 + - 3,2 → M = 8 2 , - 4 2 + - 3,2 → M = 4 , - 2 + - 3,2 →

→ M = 4 + - 3 , - 2 + 2 = 1 , 0

Passo 2

Agora vamos determinar N , temos que:

A N - = 2 3 A B - → N - A = 2 3 B - A → N = 2 3 B - A + A

Vamos então substituir os pontos para encontrar N :

N = 2 3 B - A + A → N = 2 3 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ N = 2 3 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → N = 2 3 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ N = 2 3 8 , - 4 + - 3,2 → N = 2 ⋅ 8 3 , - 2 ⋅ 4 3 + - 3,2 → N = 16 3 , - 8 3 + - 3,2 →

→ N = 16 3 + - 3 , - 8 3 + 2 → N = 1 6 - 9 3 , - 8 + 6 3 = 7 3 , - 2 3

Passo 3

Vamos agora determinar P , temos que:

A P - = 3 2 A B - → P - A = 3 2 B - A → P = 3 2 B - A + A

Vamos novamente então substituir os pontos para encontrar P :

P = 3 2 B - A + A → P = 3 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ P = 3 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → P = 3 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ P = 3 2 8 , - 4 + - 3,2 → P = 3 ⋅ 8 2 , - 3 ⋅ 4 2 + - 3,2 → P = 12 , - 6 + - 3,2 →

→ P = 12 + - 3 , - 6 + 2 = 9 , - 4

Passo 4

Pronto, achamos os pontos que queríamos, vamos construir o gráfico, marcando os pontos A , B , M , N e P :

Resposta

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