Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 27.Problemas - Ex. 2
Dados os pontos distintos A = (a, b, c), A ′ = (a ′, b′, c′) e o número d > 0, mostre que existem, na reta AA′, 0, 1 ou 2 pontos P tais que d (O, P) = d. Se existir exatamente um ponto P com d (O, P) = d, mostre que os segmentos de reta OP e AA′ são ortogonais.
Passo 1
O ponto P pode estar em uma reta concorrente, paralela ou pode fazer parte da própria reta. Vamos pegar as equações paramétricas da reta AA’, que nos dão os pontos da reta.
E agora as paramétricas de OP, sendo o ponto P = (m, n, k).
Caso ao montarmos o sistema de equações, os parâmetros p e t apresentem uma única solução, as retas são concorrentes, e dessa forma só existe um ponto P na reta AA’.
Se p e t não apresentarem solução as retas são paralelas e não existe nenhum ponto P na reta AA’
E se o sistema apresentar mais de uma solução, então OP e AA’ são a mesma reta com distância d > 0.
Passo 2
Dados os pontos , ao tomarmos os pontos das paramétricas e se OA’’ e OP’’ forem perpendiculares, isto é,
Então AA’ e OP são ortogonais.
Resposta
Demonstração.