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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 6

Seja T : R² → R² linear invertível. Mostre que T transforma toda elipse noutra elipse (que pode ser uma circunferência), toda hipérbole noutra hipérbole e toda parábola noutra parábola.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Então temos a equação de um círculo é x ² + y ² = r ² , ou em termos de vetores

(   x   ,   y )   ( x y ) = r ² uma transformação linear inversível T   que leva ( x y ) para ( X S )   = T ( x y )

Desta forma x y = T - 1 ( X S ) sendo x , y = ( X , Y ) ( T - 1 ) T

Portanto podemos escrever a equação como:

( X , Y ) ( T - 1 ) T T - 1 X Y = r ²

Observe que ( T - 1 ) T T - 1 uma matriz real simétrica, portanto pode ser diagonalizada e seus autovalores são positivos, podendo sim transformar elipse em outra elipse , hipérbole em hipérbole e parábola em parábola

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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