Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 1
Dados os pontos A = (2, 4), B = (3, 1) e C = (5, 3), obtenha as equações das retas mediatrizes dos segmentos AB e BC e determine as coordenadas da interseção dessas retas. A partir daí, ache a equação da circunferência que passa por A, B e C.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??
As retas mediatrizes são retas perpendiculares ao ponto médio de um segmento de reta.
Tendo com base esse conceito vamos determinar as retas mediatrizes dos segmentos AB e BC.
Começando pelo segmento AB, vamos determinar o seu ponto médio.
Vamos definir agora o vetor AB que orienta a reta que passa pelos pontos A e B.
Logo, a reta mediatriz que é perpendicular à será dada por:
Substituindo o ponto médio encontrado, podemos determinar c:
Logo,
Agora vamos para o segmento BC, vamos determinar o seu ponto médio.
Vamos definir agora o vetor BC que orienta a reta que passa pelos pontos B e C.
Logo, a reta mediatriz que é perpendicular à será dada por:
Substituindo o ponto médio encontrado, podemos determinar c:
Logo,
Ou ainda,
Passo 2
Para encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e C precisaremos determinar o seu raio e centro.
Para nossa sorte, o ponto de interseção das mediatrizes nos dá exatamente as coordenadas do centro.
Fazendo temos que:
Consequentemente,
Portanto, a circunferência possui centro no ponto .
Agora, para determinar o raio basta calcularmos a distância do centro à qualquer um dos pontos A, B ou C que pertencem à circunferência.
Assim, o raio da circunferência é:
Logo, a equação da circunferência será dada por:
Ou ainda,