Dados os vetores a → = 2 ,   1 ,   α , b → = α + 2 ,   - 5 ,   2 e c → = 2 α ,   8 ,   α , determinar o valor de α para que o vetor a → + b → seja ortogonal ao vetor c → - a →

Passo 1

Para que os vetores a → + b → e c → - a → sejam ortogonais, a → + b → ∙ c → - a → = 0

Passo 2

Vamos determinar os vetores a → + b → :

a → + b → = 2 ,   1 ,   α + α + 2 ,   - 5 ,   2

a → + b → = 2 + α + 2 ,   1 - 5 ,   α + 2

a → + b → = α + 4 ,   - 4 ,   α + 2

Passo 3

Agora, verificar o vetor c → - a → :

c → - a → = 2 α ,   8 ,   α - 2 ,   1 ,   α

c → - a → = 2 α - 2 ,   8 - 1 ,   α - α

c → - a → = 2 α - 2 ,   7 ,   0

Passo 4

Vamos fazer o produto escalar a → + b → ∙ c → - a → e encontrar uma expressão para α

a → + b → ∙ c → - a → = α + 4 ,   - 4 ,   α + 2 ∙ 2 α - 2 ,   7 ,   0

a → + b → ∙ c → - a → = 2 α 2 - 2 α + 8 α - 8 - 28 + 0

a → + b → ∙ c → - a → = 2 α 2 + 6 α - 36

Passo 5

Vamos agora igualar a → + b → ∙ c → - a → = 0 e resolver a equação 2 α 2 + 6 α - 36

2 α 2 + 6 α - 36 = 0

α 2 + 3 α - 18 = 0

- 3 ± 3 2 - 4 ( 1 ) ( - 18 ) 2 ( 1 )

- 3 ± 81 2

α 1 = - 3 + 9 2 α 2 = - 3 - 9 2

α 1 = 3 α 2 = - 6

Resposta

α 1 = 3 e α 2 = - 6

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