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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 40

Determinar vec u . vec v + vec u . vec w + vec v . vec w , sabendo que vec u + vec v + vec w = 0 , |vec u| = 2 , |vec v| = 3 e |vec w| = sqrt(5) .

Passo 1

Vamos chamar vec z = vec u + vec v + vec w = 0 .

Como vec z é um vetor nulo, temos que

vec u . vec z = 0

vec u . (vec u + vec v + vec w) = 0

||vec u||^2 + vec u . vec v + vec u . vec w = 0

4 + vec u . vec v + vec u . vec w = 0

vec u . vec v + vec u . vec w = - 4 ( I )

Passo 2

Também temos

vec v . vec z = 0

vec v . (vec u + vec v + vec w) = 0

||vec v||^2 + vec u . vec v + vec v . vec w = 0

vec u . vec v + vec v . vec w = - 9 ( I I )

Passo 3

E, por último, o produto escalar de vec w com vec z :

vec w . vec z = 0

vec w . (vec u + vec v + vec w) = 0

||vec w||^2 + vec u . vec w + vec v . vec w = 0

vec u . vec w + vec v . vec w = - 5 ( I I I )

Passo 4

Somando as equações (I) , ( I I ) e ( I I I ) , temos:

vec u . vec v + vec u . vec w + vec u . vec v + vec v . vec w + vec u . vec w + vec v . vec w = - 4 - 9 - 5

Juntando os termos:

2 . (vec u . vec v) + 2 . (vec u . vec w) + 2 . (vec v . vec w) = - 18

Dividindo tudo por 2, chegamos na equação que queremos:

vec u . vec v + vec u . vec w + vec v . vec w = - 9

Resposta

vec u . vec v + vec u . vec w + vec v . vec w = - 9

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