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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 23

Na figura, a → = b → = c → = 2 , ∠ a → ,   b → = 90 ° ,   ∠ a → ,   c → = 60 °   e ∠ b → ,   c → = 60 ° . Determine o ângulo formado pelos vetores a → + b → e a → + c → .

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem?

Seguinte, primeiro vamos calcular o módulo de a → + b → :

a → + b → = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → c o s 90 °

a → + b → = 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 0

a → + b → = 2 2

Passo 2

Agora, vamos calcular o módulo de a → + c → :

a → + c → 2 = a → 2 + c 2 + 2 a → c → c o s 60 °

a → + c → 2 = 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2

a → + c → = 2 3

Passo 3

Por fim, vamos calcular o produto escalar:

a → + b → a → + c → = a → ⋅ a → + a → ⋅ c → + b → ⋅ a → + b → ⋅ c →

a → + b → a → + c → = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2

a → + b → a → + c → = 8

Para achar o ângulo formado, temos:

cos ⁡ α = a → + b → ⋅ a → + c → a → + b → ⋅ a → + c → = 8 2 2 ⋅ 2 3 = 2 3

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

cos ⁡ α = 2 3

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