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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 27

Determinar o vetor v → , sabendo que v → = 5 , v → é ortogonal ao eixo O z , v → ∙ w → = 6 e

w → = 2 j → + 3 k →

Passo 1

Nessa questão, temos que ter um pouco de cuidado pois w → = 2 j → + 3 k → . Com esses versores, temos que a primeira coordenada desse vetor é 0 . Assim

w → = 0 i → + 2 j → + 3 j →

Passo 2

Vamos generalizar o vetor v → tal que v → = ( x ,   y ,   z ) .

Para ser ortogonal ao eixo O z , temos que

v → ∙ O z = x ,   y ,   z ∙ 0 ,   0 ,   1 = 0

x ,   y ,   z ∙ 0 ,   0 ,   1 = 0

0 x + 0 y + z = 0

z = 0

Passo 3

Agora, temos que v → ∙ w → = 6 , vamos usar da coordenada z = 0 para achar otura coordenada.

v → ∙ w → = x ,   y ,   0 ∙ 0 ,   2 ,   3 = 6

x ,   y ,   0 ∙ 0 ,   2 ,   3 = 6

0 x + 2 y + 3 ( 0 ) = 6

2 y = 6     ∴         y = 3

Passo 4

Por fim, vamos usar de v → = 5 para achar a última coordenada.

v → = x ,   3 ,   0 = 5

x ,   3 ,   0 = 5

x 2 + 3 2 + 0 2 = 5

x 2 + 9 = 5

x 2 + 9 = 25

x 2 = 25 - 9

x 2 = 16

x = 16

x 1 = 4 e x 2 = - 4 . Então, v → pode ser v → = 4,3 ,   0 ou v → = - 4 ,   3 ,   0

Resposta

v → = 4,3 ,   0 ou v → = - 4 ,   3 ,   0

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