Dados os vetores a →   =   ( 1 , - 2 , - 1 ) e b →   =   ( 0 , - 3,1 ) , determine um vetor u →   , sabendo que u →   é ortogonal a a →   e b →   , | u | →   =   315   e o ângulo formado por u →   e o vetor ( 1,0 , 0 )   é agudo.

Passo 1

E aí, pessoal! Para essa questão, precisamos assumir que o vetor u →     =   ( a , b , c ) e determinaremos os componente a , b e c construindo um sistema com as informações dadas na questão. Então, vamos lá!

i) norma: | u | → = 315   ⇒ a 2   +   b 2   + c 2   =   315     ⇒ a 2   +   b 2   + c 2   =   315  

ii) ortogonal a a →   : u → ⋅   a →   =   0   ⇒ a . 1   +   b . ( - 2 )   +   c . ( - 1 )   =   0   ⇒ a   - 2 b   - c   =   0  

iii) ortogonal a b →   : u → ⋅   b →   =   0   ⇒ a . 0   +   b . ( - 3 )   +   c . 1   =   0   ⇒ - 3 b   + c   =   0  

iv) ângulo agudo:   ( a , b , c ) ⋅ ( 1,0 , 0 )   > 0   ⇒ a   > 0

Passo 2

Precisamos achar os valores de a , b e c e, para isso, começaremos com o item iii):

- 3 b   + c   =   0   ⇒ b   =   1 3 c

Agora, substituiremos o resultado acima em ii):

a   - 2 ⋅ 1 3 c   - c   =   0   ⇒ a   - 5 3 c   =   0   ⇒ a   = 5 3   c

Por fim, com os dois valores encontrados nesse passo, utilizaremos o item i). Assim,

a 2   +   b 2   + c 2   =   315 ⇒   ( 5 3   c ) 2   +   ( 1 3 c ) 2   +   c 2     =   315   ⇒ 25 + 1 + 9 9 c 2   =   315  

⇒ c 2   =   9 35 . 315   ⇒ c   =   81     =   ± 9 .

Pronto, agora podemos determinar a e b a partir do valor de c . No entanto, pela última propriedade, temos que a   > 0 e para isso acontecer, c   > 0 . Logo, temos c = 9 e u →     =   ( 15,3 , 9 ) .

Resposta

u →     =   ( 15 , - 3,9 )

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