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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 64

Demonstrar que vec a xx vec b = vec b xx vec c = vec c xx vec a , sabendo que vec a + vec b + vec c = vec 0 .

Passo 1

Para resolver este problema prático, vamos precisar mostrar que vec a xx vec b = vec b xx vec c = vec c xx vec a . Para isso, temos que considerar que vec a + vec b + vec c = vec 0 , certo?

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Inicialmente, vamos fazer uma manipulação algébrica bem simples, mas que vai nos ajudar na nossa resolução, eis a nossa manipulação:

vec a + vec b + vec c = 0 => vec a = - (vec b + vec c)

Passo 3

Vamos substituir esta expressão vec a = - (vec b + vec c) no lado esquerdo da igualdade:

vec a xx vec b = - (vec b + vec c) xx vec b = - vec b xx vec b - vec c xx vec b

Sabemos que vec b xx vec b = 0 , assim teremos que vec a xx vec b = - vec c xx vec b = vec b xx vec c .

Logo, a nossa primeira igualdade está provada vec a xx vec b = vec b xx vec c .

Passo 4

Agora, vamos provar que vec a xx vec b = vec c xx vec a .

Usando a mesma ideia, temos:

vec a + vec b + vec c = 0 => vec b - ( vec a + vec c )

Substituindo esta expressão vec b = - (vec a + vec c) no lado esquerdo da igualdade:

vec a xx vec b = vec a xx - (vec a + vec c) = - vec a xx vec a - vec a xx vec c

Sabemos que vec a xx vec a = 0 , assim teremos que vec a xx vec b = - vec a xx vec c = vec c xx vec a .

Logo, vec a xx vec b = vec c xx vec a .

Portanto, provamos o que nos foi pedido. 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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