Suponha que todos os lados de um quadrilátero tenham o mesmo comprimento e que os lados opostos sejam paralelos. Use vetores para demonstrar que as diagonais são perpendiculares.

Passo 1

Vamos imaginar nosso quadrilátero regular A B C D , como sendo um quadradinho mesmo, assim:

As diagonais dele são dadas pelos vetores

A C →

B D →

como queremos provar que as diagonais são perpenducilares, devemos provar que o produto escalar entre A C → e B D → é nulo.

Passo 2

Para isso, vamos primeiro definir os vetores diagonal:

A C → = A B → + B C →

E

B D → = B C → + C D → = B C → - A B →

Show de bola?

Passo 3

Agora vamos ver se o produto escalar dá zero:

A C → ∙ B D → = A B → + B C → ∙ B C → - A B →

A C → ∙ B D → = A B → ∙ B C → - A B → + B C → ∙ B C → - A B →

A C → ∙ B D → = A B → ∙ B C → - A B → ∙ A B → + B C → ∙ B C → - B C → ∙ A B →

A C → ∙ B D → = A B → ∙ B C → - A B → 2 + B C → 2 - B C → ∙ A B →

E, como a ordem não importa para o produto escalar:

A C → ∙ B D → = B C → 2 - A B → 2

Maaaaas, acontece que todos os lados do quadrilátero tem o mesmo tamanho, Ô SEJE,

B C → 2 = A B → 2

Assim,

A C → ∙ B D → = B C → 2 - A B → 2 = 0

E o tal do produto escalar deu zero mesmo, quer dizer, os vetores diagonais são perpendiculares

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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