Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 13
Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.
Passo 1
E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!
Dadas duas matrizes A e B, vamos supor que elas sejam semelhantes de ordem n. Isso implica que existe uma matriz M, também de ordem n, tal que:
Passo 2
Sabemos que
Em que I é a matriz identidade. Assim:
Reescrevendo:
Passo 3
Reordenando:
Sabendo que
Dessa forma, retomando
Temos que
Como os determinantes são iguais, A e B possuem o mesmo polinômio característico.
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P . A = 1 0 0 0 1 1 0 1 1
Em cada parte, calcule a potência indicada deA = [[[1,-,2,8],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]
Encontre A^n se n for um inteiro positivo e:A = [[[3,-,1,0],[-,1,2,-,1],[0,-,1,3]]]
No Exercício 4, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 0 1 2 0 2 3 0 3 , B = 1 1 0 2 2 0 0 1 1
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.