Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.
Passo 1
E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!
Dadas duas matrizes A e B, vamos supor que elas sejam semelhantes de ordem n. Isso implica que existe uma matriz M, também de ordem n, tal que:
Passo 2
Sabemos que
Em que I é a matriz identidade. Assim:
Reescrevendo:
Passo 3
Reordenando:
Sabendo que
Dessa forma, retomando
Temos que
Como os determinantes são iguais, A e B possuem o mesmo polinômio característico.
Resposta
Demonstração.