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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 4

Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, então AB é ortogonal.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Uma matriz A é ortogonal se

A t = A - 1

Da mesma forma, B é ortogonal se

B t = B - 1

Passo 2

Além disso, pelas propriedades matriciais, sabemos que

( A B ) t = B t A t

( A B ) - 1 = B - 1 A - 1

Passo 3

Vamos chamar o produto das matrizes AB de X. Ou seja, X = AB.

Nesse sentido:

X - 1 = ( A B ) - 1 = B - 1 A - 1

No entanto, como A e B são ortogonais e A t = A - 1 e B t = B - 1 :

X - 1 = B - 1 A - 1 = B t A t = X t

Ou seja:

X - 1 = X t

Como X = AB:

( A B ) - 1 = ( A B ) t

Portanto, AB é ortogonal.

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz 6 x 6 com equação característica λ 2 λ - 1 λ - 2 3 = 0 . Quais são as possíveis dimensões dos autoespaços de A?
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Para cada valor de λ , encontre o posto da matriz λ I - A .
Prove que matrizes semelhantes possuem o mesmo traço.
Seja A = a b c d Mostre que:A é diagonalizável se a - d 2 + 4 b c0 A não é diagonalizável se a - d 2 + 4 b c0
No caso em que a matriz A do Exercício 26 for diagonalizável, encontre uma matriz P que diagonalize A.