Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, então AB é ortogonal.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Uma matriz A é ortogonal se

A t = A - 1

Da mesma forma, B é ortogonal se

B t = B - 1

Passo 2

Além disso, pelas propriedades matriciais, sabemos que

( A B ) t = B t A t

( A B ) - 1 = B - 1 A - 1

Passo 3

Vamos chamar o produto das matrizes AB de X. Ou seja, X = AB.

Nesse sentido:

X - 1 = ( A B ) - 1 = B - 1 A - 1

No entanto, como A e B são ortogonais e A t = A - 1 e B t = B - 1 :

X - 1 = B - 1 A - 1 = B t A t = X t

Ou seja:

X - 1 = X t

Como X = AB:

( A B ) - 1 = ( A B ) t

Portanto, AB é ortogonal.

Resposta

Demonstração.

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