Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 28a

Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer, então:

  1. V ∙ W = 1 4 ( V + W 2 - V - W 2 )

Passo 1

Vamos resolver esse problema desenvolvendo o lado direito da igualdade. Primeiro, vamos nos atentar às normas:

V + W 2 = V + W ∙ V + W

Tal que:

V + W = ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 )

Logo:

V + W ∙ V + W = ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 ) ∙ ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 )

=   v 1 2 + 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 + 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 + 2 v 3 w 3 + w 3 2

Passo 2

V - W 2 = V - W ∙ V - W

V - W = ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 )

V - W ∙ V - W = ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 ) ∙ ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 )

v 1 2 - 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 - 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 - 2 v 3 w 3 + w 3 2

Passo 3

Realizando, agora, a seguinte conta, com base no que foi encontrado até agora:

V + W 2 - V - W 2 =

v 1 2 + 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 + 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 + 2 v 3 w 3 + w 3 2 - v 1 2 - 2 v 1 w 1 + w 1 2 - v 2 2 - 2 v 2 w 2 + w 2 2 - v 3 2 - 2 v 3 w 3 + w 3 2

Realizando as somas e subtrações:

V + W 2 - V - W 2 = 4 v 1 w 1 + 4 v 2 w 2 + 4 v 3 w 3

Multiplicando por um quarto:

1 4 V + W 2 - V - W 2 =   1 4 ( 4 v 1 w 1 + 4 v 2 w 2 + 4 v 3 w 3 )

1 4 V + W 2 - V - W 2 = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3

Como V ∙ W =   v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 :

V ∙ W = 1 4 ( V + W 2 - V - W 2 )

Resposta

V ∙ W = 1 4 V + W 2 - V - W 2 = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam os vetores vec u = (2 , a , - 1) , vec v = ( 3,1 , - 2 ) e vec w = ( 2 a - 1 , - 2,4 ) . Determinar a de modo que vec u * vec v = (vec u + vec v) * (vec v + vec w)
Dados os pontos A 4,0 , - 1 , B ( 2 , - 2,1 ) e C ( 1,3 , 2 ) e os vetores u → = 2,1 , 1 e v → = ( - 1 , - 2,3 ) , obter o vetor x → tal que: 3 x → + 2 v → = x → + A B → ∙ u → v →
Dados os vetores vec u = ( 2 , - 3 , - 1 ) e vec v = ( 1 , - 1,4 ) b) (vec u + 3 vec v) * ( vec v - 2 vec u )
Sabendo que |vec u| = 2 , |vec v| = 3 e vec u . vec v = - 1 , calcular:(vec u - 3 vec v) . vec u
Sabendo que |vec u| = 2 , |vec v| = 3 e vec u . vec v = - 1 , calcular:(vec u + vec v) . ( vec v - 4 vec u )