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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 16a

  1. Mostre que os planos 2x – y +z = 0 e x + 2y – z = 1 se interceptam segundo uma reta r

Passo 1

Essa questão é bem rapidinha! Primeiro, vamos analisar as equações dos planos dados de forma a encontrar seus vetores normais:

N 1 = 2 ,   - 1 ,   1

N 2 = 1 ,   2 ,   - 1

Passo 2

Como nos foram dados dois planos, vamos utilizar os dois vetores normais para obter um vetor diretor para a reta r, fazendo isso a partir do produto vetorial:

v → = N 1 × N 2

v → = det i j k 2 - 1 1 1 2 - 1

Realizando a conta do determinante:

v → = 1i + 1j + 4k + 1k + 2j – 2i

v → = - 1i + 3j + 5k

Passo 3

A equação da reta pode ser dada por:

x =   x 0 + a t y =   y 0 + b t z =   z 0 + c t

Tal que (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Dessa forma:

x =   x 0 - 1 t y =   y 0 + 3 t z =   z 0 + 5 t

Resposta

Os planos se interceptam segundo uma reta com vetor diretor V = (-1, 3, 5).

Exercícios de Livros Relacionados

Estude a posição relativa dos planos pi 1 e pi 2 .a) pi 1 : X = (1 , 1 , 1) + lambda (0 , 1 , 1) + mu (- 1 , 2 , 1) pi 2 : X = (1 , 0 , 0) + lambda (1 , - 1 , 0) + mu ( - 1 , - 1 , - 2 )
Estude a posição relativa dos planos pi 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e pi 2 : X = (1 , 1 , 1) + lambda (1 , 1 , 0) + mu ( 2 , - 1 , m ) .
Obtenha um plano π , paralelo a π 1 : x - y + 3 z - 20 = 0 , que satisfaz a condição especificada em cada caso (o sistema de coordenadas é ortogonal).a) π intercepta o eixo O z em um ponto que dista 6
Estude a posição relativa dos planos pi 1 e pi 2 .d) pi 1 : x - y + 2 z - 2 = 0 pi 2 : X = (0 , 0 , 1) + lambda (1 , 0 , 3) + mu ( - 1 , 1 , 1 )
Mostre que os planos π 1 :x = - λ + 2 μ y = m λ z = λ + μπ 2 :x = 1 + m λ + μ y = 2 + λ z = 3 + m μ São transversais, qualquer que seja o número real m .