1. Mostre que os planos 2x – y +z = 0 e x + 2y – z = 1 se interceptam segundo uma reta r

Passo 1

Essa questão é bem rapidinha! Primeiro, vamos analisar as equações dos planos dados de forma a encontrar seus vetores normais:

N 1 = 2 ,   - 1 ,   1

N 2 = 1 ,   2 ,   - 1

Passo 2

Como nos foram dados dois planos, vamos utilizar os dois vetores normais para obter um vetor diretor para a reta r, fazendo isso a partir do produto vetorial:

v → = N 1 × N 2

v → = det i j k 2 - 1 1 1 2 - 1

Realizando a conta do determinante:

v → = 1i + 1j + 4k + 1k + 2j – 2i

v → = - 1i + 3j + 5k

Passo 3

A equação da reta pode ser dada por:

x =   x 0 + a t y =   y 0 + b t z =   z 0 + c t

Tal que (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Dessa forma:

x =   x 0 - 1 t y =   y 0 + 3 t z =   z 0 + 5 t

Resposta

Os planos se interceptam segundo uma reta com vetor diretor V = (-1, 3, 5).

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