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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 28b

Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer, então:

b) V 2 + W 2 = 1 2 ( V + W 2 + V - W 2 )

Passo 1

Da mesma forma que fizemos no item (a), vamos resolver esse problema desenvolvendo o lado direito da igualdade. Primeiro:

V + W 2 = V + W ∙ V + W

Tal que:

V + W = ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 )

Logo:

V + W ∙ V + W = ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 ) ∙ ( v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   v 3 + w 3 )

=   v 1 2 + 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 + 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 + 2 v 3 w 3 + w 3 2

Passo 2

V - W 2 = V - W ∙ V - W

V - W = ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 )

V - W ∙ V - W = ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 ) ∙ ( v 1 - w 1 ,   v 2 - w 2 ,   v 3 - w 3 )

v 1 2 - 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 - 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 - 2 v 3 w 3 + w 3 2

Passo 3

V + W 2 + V - W 2 =

v 1 2 + 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 + 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 + 2 v 3 w 3 + w 3 2 + v 1 2 - 2 v 1 w 1 + w 1 2 + v 2 2 - 2 v 2 w 2 + w 2 2 + v 3 2 - 2 v 3 w 3 + w 3 2

Realizando as somas e subtrações:

V + W 2 + V - W 2 = 2 v 1 2 + 2 w 1 2 + 2 v 2 2 + 2 w 2 2 + 2 v 3 2 + 2 w 3 2

Multiplicando por meio:

1 2 V + W 2 + V - W 2 = v 1 2 + w 1 2 + v 2 2 + w 2 2 + v 3 2 +   w 3 2

Por fim, sabemos que

V 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

E

W 2 = w 1 2 + w 2 2 +   w 3 2

Ou seja:

V 2 + W 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + w 1 2 + w 2 2 +   w 3 2

Que é o mesmo que

v 1 2 + w 1 2 + v 2 2 + w 2 2 + v 3 2 +   w 3 2

Resposta

V 2 + W 2 = 1 2 V + W 2 + V - W 2 = v 1 2 + w 1 2 + v 2 2 + w 2 2 + v 3 2 +   w 3 2

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Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17 . Determinar:o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta.
Os ângulos diretores de um vetor a → são 45 ° , 60 ° e 120 ° e a → = 2 . Determinar a → .
Determinar o vetor v → nos seguintes casos: v → é ortogonal ao eixo O z , v → = 8 , forma ângulo de 30 ° com o vetor i → e ângulo obtuso com j → .
Determinar o vetor v → nos seguintes casos: v → é ortogonal ao eixo O x , v → = 2 , forma ângulo de 60 ° com o vetor j → e ângulo agudo com k → .