Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 38a
Determinar o vetor nos seguintes casos:
é ortogonal ao eixo , , forma ângulo de com o vetor e ângulo obtuso com .
Passo 1
Vamos lá, se o vetor é ortogonal ao eixo ele deve ter a coordenada de igual a zero, pois qualquer vetor no plano será ortogonal ao eixo , então ele vai ser da forma:
Falta então achar as coordenadas e .
Temos também que forma ângulo de com o vetor , vamos então analisar as fórmulas dos ângulos diretores de , que são os ângulos , e que forma com os vetores , e , respectivamente.
Para calcular eles usaram as seguintes fórmulas:
Vamos então usar a primeira fórmula, já que sabemos que :
Achamos , agora só falta o valor de .
Passo 2
Como temos que vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:
Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo para encontrar :
Passo 3
Só que temos dois valores para , com sinais opostos:
Mas o enunciado quer que forme ângulo obtuso com o vetor , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser menor que , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor menor que zero:
Pronto, vamos usar o valor negativo: