Enunciado

Determinar o vetor v → nos seguintes casos:

v → é ortogonal ao eixo O z ,   v → = 8 , forma ângulo de 30 ° com o vetor i → e ângulo obtuso com j → .

Passo 1

Vamos lá, se o vetor é ortogonal ao eixo O z ele deve ter a coordenada de z igual a zero, pois qualquer vetor no plano x y será ortogonal ao eixo z , então ele vai ser da forma:

v → = O A → = A - O = x , y , 0 - 0,0 , 0 = x , y , 0

Falta então achar as coordenadas x e y .

Temos também que v → forma ângulo de 30 ° com o vetor i → , vamos então analisar as fórmulas dos ângulos diretores de v → , que são os ângulos α , β e γ que v → forma com os vetores i → , j → e k → , respectivamente.

Para calcular eles usaram as seguintes fórmulas:

cos ⁡ α = v → ⋅ i → v → i →

cos ⁡ β = v → ⋅ j → v → j →

cos ⁡ γ = v → ⋅ k → v → k →

Vamos então usar a primeira fórmula, já que sabemos que α = 30 ° :

cos ⁡ α = v → ⋅ i → v → i → → cos ⁡ 30 ° = x , y , 0 ⋅ 1,0 , 0 8 ⋅ 1 2 + 0 2 + 0 2 → 3 2 = x 8 → 2 x = 8 3 → x = 4 3

Achamos x , agora só falta o valor de y .

Passo 2

Como temos que v → = 8 vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo para encontrar y :

v → = x 2 + y 2 + 0 2 → 8 = 4 3 2 + y 2 → 8 2 = 16 ⋅ 3 + y 2 2 → 64 = 48 + y 2 →

→ y 2 = 16 → y = ± 4

Passo 3

Só que temos dois valores para y , com sinais opostos:

v → = x , y , 0 = 4 3 , ± 4 , 0

Mas o enunciado quer que v → forme ângulo obtuso com o vetor j → , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser menor que 0 , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor menor que zero:

v → ⋅ j → < 0

4 3 , 4 , 0 ⋅ 0,1 , 0 = 4 > 0

4 3 , - 4 , 0 ⋅ 0,1 , 0 = - 4 < 0

Pronto, vamos usar o valor negativo:

v → = 4 3 , - 4 , 0

Resposta

v → = 4 3 , - 4 , 0

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