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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 33

Os ângulos diretores de um vetor a → são 45 ° , 60 ° e 120 ° e a → = 2 . Determinar a → .

Passo 1

Ângulos diretores de a → são os ângulos α , β e γ que a → forma com os vetores i → , j → e k → , respectivamente.

Para calcular eles usaram as seguintes fórmulas:

cos ⁡ α = a → ⋅ i → a → i →

cos ⁡ β = a → ⋅ j → a → j →

cos ⁡ γ = a → ⋅ k → a → k →

Então para determinar a → = x , y , z vamos substituir nas três fórmulas, e assim vamos encontrar cada coordenada de a → .

Passo 2

Primeiro vamos calcular os produtos vetoriais, lembrando que produto escalar de dois vetores u → = x 1 , y 1 , z 1 e v → = x 2 , y 2 , z 2 , representado por u → ⋅ v → , é o número real encontrado pela seguinte soma:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Vamos aplicar agora na nossa questão:

a → ⋅ i → = x , y , z ⋅ 1,0 , 0 = x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + z ⋅ 0 = x + 0 + 0 = x

a → ⋅ j → = x , y , z ⋅ 0,1 , 0 = x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + z ⋅ 0 = 0 + y + 0 = y

a → ⋅ k → = x , y , z ⋅ 0,0 , 1 = x ⋅ 0 + y ⋅ 0 + z ⋅ 1 = 0 + 0 + z = z

Passo 3

Agora vamos encontrar os módulos dos vetores, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula para calcular os módulos:

a → = 2

i → = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 = 1

j → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 = 1

k → = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 = 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir nas fórmulas do passo 1 e encontramos as coordenadas:

cos ⁡ α = a → ⋅ i → a → i → → cos ⁡ 45 ° = x 2 ⋅ 1 → 2 2 = x 2 → x = 2

cos ⁡ β = a → ⋅ j → a → j → → cos ⁡ 60 ° = y 2 ⋅ 1 → 1 2 = y 2 → y = 1

cos ⁡ γ = a → ⋅ k → a → k → → cos ⁡ 120 ° = z 2 ⋅ 1 → - 1 2 = z 2 → z = - 1

Pronto, assim temos que a → = 2 , 1 , - 1 .

Resposta

a → = 2 , 1 , - 1

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