Demonstre o teorema , isto é, se um operador linear auto-adjunto, então existe uma base ortonormal de autovetores de . (Sugestão: Faça por indução finita sobre a dimensão de , utilizando os Exercícios 10 e 11)

Agora temos que formular nossa hipótese de indução, que será:

Um espaço euclidiano de dimensão sempre possui uma base ortonormal de autovetores de .

Para nos ajudar nessa aventura, a gente vai usar o exercício 11, que já nos deu uma dica que como “reduzir a dimensão” do nosso espaço para usar a indução.

Bom, para concluir a prova temos que analisar os espaços de dimensão usando como base a hipótese indução.

Nós vimos, no exercício 11, que forma um subespaço fechado para o operador linear e que ele continua sendo auto-adjunto. Isso é importante para a hipótese de indução, que exige que o domínio e a imagem sejam iguais.

Vamos provar que a dimensão de é , porque ai podemos aplicar a hipótese de indução nesse subespaço.

Seja uma base de , onde é um autovetor normalizado base de , como no exercício 11. Sem perda de generalidade, vamos assumir que essa base é ortonormal, pois se não fosse, bastava aplicar Gram-Schimdt.

Pegue . Disso, podemos escrever:

Veja que:

Já que são ortogonais. Veja que isso implica que , pois eles obedecem:

Mas , então .

Disso, temos que vetores ortogonais e, portanto, , geram os vetores de . Assim, a dimensão de é .

Mas nossa hipótese de indução afirma que um espaço de dimensão possui uma base ortonormal de autovetores de . Logo, a gente pode pegar essa base ortonormal de autovetores e substituir por resultando em uma base de autovetores ortonormais de para o espaço de dimensão , que é o que a gente quer.