Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 7
Seja o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é
Exiba uma base ortonormal de autovetores.
Passo 1
Primeiramente devemos calcular os autovalores da matriz. Vamos calcular o determinante:
Então ela possui auto-valores .
Passo 2
Para :
Que gera o sistema:
Ou ainda:
Vamos escalonar a matriz dos coeficientes:
Ou seja:
Então:
Veja que os dois vetores são LI.
Passo 3
Agora para :
Que gera o sistema:
Ou ainda:
Vamos escalonar a matriz dos coeficientes:
Logo, temos:
Do segue que o auto-vetor é:
Passo 4
Então temos a base de auto-vetores:
Agora, vamos ortogornalizar essa base.
Passo 5
Ou seja:
Além disso:
Que resolvendo fica:
Passo 6
Agora é só normalizar:
Resposta
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