Seja um espaço vetorial real de dimensão , um operador linear auto-adjunto e um autovetor de .
- Mostre que , o espaço gerado por , é invariante por aplicação do aperador , isto é, se , então .
- Mostre que , o complemento ortogonal de (veja 8.5), é invariante por aplicação do operador , isto é, se , então e portanto induz um operador linear
- Mostre que o operador definido no item é auto-adjunto.
- Mostre que todo autovetor de com autorvalor também é autovetor de com o mesmo autovalor .
Passo 1
- Seja . Então podemos escrever:
- Vamos calcular .
- representa uma restrição do domínio e da imagem de . Isso nos diz que a propriedade:
- Seja então auto-vetor de com auto-valor . Disso, a gente pode escrever:
E ainda:
Mas é um auto-vetor de , vamos supor que seja associado ao auto-valor . Ai a gente escreve:
O que isso significa? Isso mesmo: que é um vetor de .
Passo 2
Lembrando que o operador é auto-adjunto, a gente tem:
Agora a gente lembra que é auto-vetor, que nos permite escrever:
Observe que a última igualdade só é valida porque o operador é real.
Poh, mas se , a gente tem:
Agora é so concluir:
Logo, .
Dessa discussão, podemos definir um operador linear como sugerido no enunciado.
Passo 3
Também se extende a . Logo, também é auto-adjunto.
Passo 4
Mas , ou seja:
Ou seja, também é auto-vetor de com o mesmo auto-valor.
Resposta
Demonstração.