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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 11

Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .

  1. Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T , isto é, se w ∈ [ v ] , então T w ∈ [ v ] .
  2. Mostre que v ⊥ , o complemento ortogonal de [ v ] (veja 8.5), é invariante por aplicação do operador T , isto é, se w ∈ v ⊥ , então T w ∈ v ⊥ e portanto T induz um operador linear

    3. T 1 :   v ⊥ → v ⊥ w → T w

  3. Mostre que o operador T 1 definido no item ( b ) é auto-adjunto.
  4. Mostre que todo autovetor w de T 1 com autorvalor δ também é autovetor de T com o mesmo autovalor δ .

Passo 1

  1. Seja w ∈ [ v ] . Então podemos escrever:

    2. w = α v

    E ainda:

    T w = T α v = α T ( v )

    Mas v é um auto-vetor de T , vamos supor que seja associado ao auto-valor λ . Ai a gente escreve:

    T w = α λ v

    O que isso significa? Isso mesmo: que T ( w ) é um vetor de [ v ] .

    Passo 2

  2. Vamos calcular < T w , v > .

    3. Lembrando que o operador é auto-adjunto, a gente tem:

    < T w , v >   =   < w , T ( v ) >

    Agora a gente lembra que v é auto-vetor, que nos permite escrever:

    < T w , v >   =   < w , T v > = < w , λ v > = λ < w , v >

    Observe que a última igualdade só é valida porque o operador é real.

    Poh, mas se w ∈ v ⊥ , a gente tem:

    < w , v >   = 0

    Agora é so concluir:

    < T w , v >   = λ < w , v >   = λ ∙ 0 = 0  

    Logo, T w ∈ v ⊥ .

    Dessa discussão, podemos definir um operador linear T 1 como sugerido no enunciado.

    Passo 3

  3. T 1 representa uma restrição do domínio e da imagem de T . Isso nos diz que a propriedade:

    4. < T w , v > = < w , T v >

    Também se extende a T 1 . Logo, T 1 também é auto-adjunto.

    Passo 4

  4. Seja então w auto-vetor de T 1 com auto-valor δ . Disso, a gente pode escrever:

T 1 w = δ w

Mas T 1 w = T w , ou seja:

T w = δ w

Ou seja, w também é auto-vetor de T com o mesmo auto-valor.

Resposta

Demonstração.

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