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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 4

Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais, prove que A é ortogonal.

Passo 1

Essa questão fica simples se percebermos que a multiplicação de matrizes nada mais é que o produto interno convencional entre os vetores linha de uma matriz e os vetores coluna da outra matriz. Então digamos que A 1 ,   A 2 ,   … , A n são os vetores coluna da matriz que estamos analizando.

Eles são ortonormais, o que isso signigica? Simples:

< A i , A j >   = 1     s e     i = j

< A i ,   A j >   = 0   s e   i ≠ j

Passo 2

Quem são os vetores linha de A T ? Isso mesmo, A 1 ,   A 2 ,   … , A n . Poh, então quem são as entradas da matriz A T A = C ?

Você concorda que são:

c i j = < A i , A j > ?

Basta você escrever a matriz que você vai ver rapidamente.

Passo 3

Bom, do que foi dito acima, a gente conclui que a matriz produto tem as seguintes entradas:

c i j = 1     s e   i = j

c i j = 0   s e   i ≠ j

Ou seja, ela é a matriz identidade. Mas pera aí, se ela é a matriz identidade, então podemos dizer que A T = A - 1 , isto é, a matriz A é ortogonal!

Resposta

Demonstração.

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