Enunciado

Descreva geometricamente a cúbica e as quárticas:

  1. omega : x^3 + y^3 = 0
  2. omega : x^4 = 1
  3. omega : x^4 + 2 x^2 z + z^2 - y^4 = 0

Passo 1

A dica para resolver esta questão é fatorar as equações. Ao reduzirmos ao máximo, conseguiremos identificar o significado de cada termo. Portanto, temos:

x^3 + y^3 = 0

Podemos fatorar a equação acima da seguinte forma:

(x + y) * (x^2 - x y + y^2) = 0

Portanto, temos duas opções: x + y = 0 ou x^2 - x y + y^2 = 0

Então, vamos analisar por partes. A equação x + y = 0 , no espaço, corresponde ao plano pi : x + y = 0 , plano que contém o eixo O z .

Já a equação x^2 - x y + y^2 = 0 , no plano, consiste na origem. Basta fazer uma rotação de 45° para obter a equação (3 x^2)/(2) + (5 y^2)/(2) = 0 , no novo sistema. Entretanto, lembrem que estamos no espaço. E qual o valor de z ? Ele pode ser qualquer um! Portanto temos o ponto O = (0,0 , 0) + lambda (0,0 , 1) , o que consiste no eixo O z .

Mas como O z está contida em pi : x + y = 0 , a solução para esta cúbica é exatamente pi .

Resposta

pi : x + y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de r e π , e identifique-o r : x - y = z = 0 π : x + y = 0 r : x - z = y = 0 π : x - z + 2 = 0
Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de r e π , e identifique-o r : x - y = z = 0 π : x + y = 0 r : x - z = y = 0 π : x - z + 2 = 0
Seja Ω a quádrica de equação 11 x 2 + 24 x y + 4 y 2 + 20 z 2 9 + 20 = 0 . Obtenha, por rotação em torno de O z , um sistema de coordenadas em relação ao qual a equação de Ω não apresenta termo quadrá
Seja Ω a quádrica de equação 9 x 2 + 36 y 2 - 4 z 2 - 18 x + 72 y + 16 z - 7 = 0 . Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.Obten