Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 43a
Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de que equidistam de e , e identifique-o
Passo 1
Então, temos um ponto de coordenadas pertencente a . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos que satisfazem:
Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a reta e ponto a plano. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.
Seja uma reta , a sua distância até o ponto será dado por:
E, seja a sua distância até o ponto será dado por:
Passo 2
Antes de partirmos para o cálculo da distância do ponto a reta, vamos obter uma equação vetorial da reta. Então, se
Se a reta , então, temos: . Então, se chamarmos de (apenas uma simples mudança), temos a seguinte reta:
Agora que já sabemos o vetor diretor da reta e um ponto dela , vamos calcular as distâncias. Começando por , temos:
Já para , temos:
Passo 3
Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,
Passo 4
Temos uma quádrica com termo misto! E agora? O que fazemos???
Calma, não se assustem, é simples. Vamos repetir todo o procedimento que fizemos com cônicas para eliminação do termo misto.
Mas aí vocês devem se questionar: e a variável ? Simplesmente, vamos que esquecer que ela é uma variável. Por que não pensamos que ela é uma constante?
Portanto, temos a seguinte “cônica”:
E para eliminar o termo misto, temos que fazer uma rotação:
Passo 5
Vamos fazer a rotação da cônica. Os seus únicos coeficientes são e .
Calculando , temos:
Portanto, . Vamos descobrir agora quem são e referente ao novo sistema. Logo,
Resolvendo o sistema acima, obtemos e . Portanto, temos a seguinte “cônica” rotacionada:
Mas calma! Não fica legal usarmos as mesmas letras após fazermos uma mudança no sistema de coordenadas. Então, vamos chamar
O que corresponde a quádrica cônica de rotação
Resposta
O lugar geométrico dos pontos de que satisfazem é chamado quádrica cônica de rotação!