Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 43b
Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de que equidistam de e , e identifique-o
Passo 1
Então, temos um ponto de coordenadas pertencente a . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos que satisfazem:
Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a reta e ponto a plano. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.
Seja uma reta , a sua distância até o ponto será dado por:
E, seja a sua distância até o ponto será dado por:
Passo 2
Antes de partirmos para o cálculo da distância do ponto a reta, vamos obter uma equação vetorial da reta. Então, se
Se a reta , então, temos: . Então, se chamarmos de (apenas uma simples mudança), temos a seguinte reta:
Agora que já sabemos o vetor diretor da reta e um ponto dela , vamos calcular as distâncias. Começando por , temos:
Já para , temos:
Passo 3
Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,
Passo 4
No final do passo anterior obtivemos uma equação grau a três incógnitas. Vamos fazer agora uma mudança de coordenadas para colocar na sua forma reduzida. Portanto, temos o seguinte sistema:
E assim teremos a seguinte equação:
Agora, vamos fazer uma rotação em torno do eixo . Faremos uma rotação no sentido anti-horário de . Aplicando as relações desenvolvidas no capítulo 21, temos:
A mágica para eliminação de uma das variáveis é feita substituindo as relações acima na equação da quádrica. Portanto,
Portanto, após uma rotação de 45° obtivemos a equação , o que consiste em uma parábola. Portanto, como existe algum sistema de coordenadas em que conseguimos escrever a nossa quádrica através de apenas 2 variáveis, esta nossa quádrica é cilíndrica.
E não só isto, como a curva é uma parábola temos uma quádrica cilíndrica parabólica.
Resposta
O lugar geométrico dos pontos de que satisfazem
é chamado quádrica cilíndrica parabólica!