Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 20
Seja a quádrica de equação
- Obtenha, por rotação em torno de , um sistema de coordenadas em relação ao qual a equação de não apresenta termo quadrático misto e identifique a quádrica.
- Faça um esboço de e desenhe, em vista frontal, suas projeções ortogonais sobre planos , e .
Passo 1
Temos uma quádrica com termo misto! E agora? O que fazemos???
Calma, não se assustem, é simples. Vamos repetir todo o procedimento que fizemos com cônicas para eliminação do termo misto.
Mas aí vocês devem se questionar: e a variável ? Simplesmente, vamos que esquecer que ela é uma variável. Por que não pensamos que ela é uma constante?
Portanto, temos a seguinte “cônica”:
E para eliminar o termo misto, temos que fazer uma rotação.
Passo 2
Vamos fazer a rotação da cônica. Os seus coeficientes são , , e .
Calculando , temos:
Calculando o seno, temos:
Portanto,
Agora, vamos descobrir agora quem são e referente ao novo sistema. Logo,
Resolvendo o sistema acima, obtemos e . Portanto, temos a seguinte “cônica” rotacionada:
Mas calma, não fica legal usarmos as mesmas letras após fazermos uma mudança no sistema de coordenadas. Então, vamos chamar
Reorganizando, temos:
Equação esta sem a presença do termo quadrático misto e que facilmente conseguimos identificar que ela representa um hiperboloide de duas folhas!
Passo 3
O esboço das quádricas é algo um pouco mais difícil. Aqui, iremos mostrar como ela está se comportando no geral.
O importante, é sempre colocarem o vértice dela e indicar os eixos, como ela se comporta (eixo de simetria e etc). Portanto, temos o seguinte paraboloide:
Agora, vamos fazer as projeções do paraboloide com os planos , e . Começando por , temos:
Em relação a , temos:
Por fim, em relação ao plano , temos:
Resposta
- No novo sistema, a quádrica é expressa por: . Ela representa um hiperboloide de duas folhas.
- O esboço do hiperboloide é:
Já a projeção nos planos , e , são, respetivamente:
