A desigualdade triangular (Teorema 3.2.5a) é uma igualdade sob quais condições? Explique sua resposta geometricamente

Vamos desenhar dois vetores e que partem de uma mesma origem:

Pela “Regra do triângulo para a adição vetorial” podemos traçar um terceiro vetor que é igual à soma dos dois vetores iniciais.

Agora vamos olhar apenas para a soma vetorial:

Elevamos os dois lados ao quadrado:

Dada a Equação (19) da seção 2 do capítulo 3, sabemos que: . Então vamos aplicar isso a um dos lados da equação

Aplicamos a propriedade distributiva:

Pela propriedade do valor absoluto:

Já pela propriedade da Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Aplicando essas desigualdades na nossa prova, podemos dizer que:

Perceba que o lado direito é um produto notável. Então podemos organizá-lo:

Vamos efetuar a raiz quadrada de ambos os lados:

E assim provamos que a soma de um de dois lados é maior ou igual ao terceiro lado.