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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 31

Prove as partes (d) e (e) do Teorema 3.2.3

Passo 1

Vamos provar o Teorema 3.2 . 3 ( d )

Seja o produto de um escalar entre a subtração de vetores (vec u - vec v) e um vetor vec w onde todos estes vetores pertencem ao R^n

(vec u - vec v) * vec w

Aplicando a propriedade da simetria, podemos levar o vec w pra frente dos parênteses:

(vec u - vec v) * vec w = vec w * (vec u - vec v)

Aplicamos a propriedade distributiva ao lado direito da equação

(vec u - vec v) * vec w = vec w * vec u - vec w * vec v

E aplicamos a propriedade de simetria em cada um dos termos do lado direito, assim podemos trocar o vec w de lugar com o vec u e o vec v . Assim, o teorema está provado:

(vec u - vec v) * vec w = vec u * vec w - vec v * vec w

Passo 2

E agora vamos provar o Teorema 3.2 . 3 ( e )

Seja o produto entre o escalar a que pertence aos reais e o produto escalar ( vec u * vec v ) onde os vetores pertencem ao R^n

a ( vec u * vec v )

Vamos aplicar a propriedade 3.2 . 2 ( a ) da Simetria dentro do parênteses

a * (vec u * vec v) = a ( vec v * vec u )

Aplicamos a propriedade 3.2 . 2 ( c ) da homogeneidade:

a * (vec u * vec v) = ( a vec v ) * vec u

E provamos o teorema aplicando a propriedade 3.2 . 2 ( a ) da Simetria novamente:

a * (vec u * vec v) = vec u * ( a vec v )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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