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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 30

Prove as partes (a) e (c) do Teorema 3.2.3

Passo 1

Teorema 3.2.3 (a)

Seja o produto escalar entre o vetor vec v que pertence ao R^n e seja vec 0 o vetor nulo

vec 0 * vec v

Pela propriedade da Teorema 3.2.2(a) Simetria, podemos dizer que:

vec 0 * vec v = vec v * vec 0

Podemos expandir os dois vetores da seguinte forma:

vec v = (v_1 , v_2 , v_3 , ... , v_n)

vec 0 = ( 0 , 0 , 0 , ... 0 )

Vamos aplicar o produto escalar entre os dois vetores de acordo com a DEFINIÇÃO 4 da Seção 3.2 do livro:

vec 0 * vec v = (0 , 0 , 0 , ... 0) * (v_1 , v_2 , v_3 , ... , v_n) = 0 * v_1 + 0 * v_2 + 0 * v_3 + ... 0 * v_n = 0 + 0 + 0 + ... 0 *

Assim, provamos o teorema:

vec v * vec 0 = vec 0 * vec v = 0

Passo 2

Seja o produto de um escalar entre um vetor vec u e a subtração de vetores (vec v - vec w) , onde todos estes vetores pertencem ao R^n

vec u * ( vec v - vec w )

Aplicando a propriedade distributiva provamos o teorema:

vec u (vec v - vec w) = vec u * vec v - vec u * vec w

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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