O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos u → e v → que satisfazem a equação u + v = u + | v | ?

Passo 1

Dada a equação:

u → + v → = u → + v →

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

u → + v → 2 = u → 2 + 2 u → ⋅ v → + v → 2

Vamos separar em produtos vetoriais:

v → + u → v → + u → = v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u →

Aplicamos a propriedade distributiva:

v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u → = v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u →

Simplificando temos:

2 u → ⋅ v → = 2 u → ⋅ v →

u → ⋅ v → = u → ⋅ v →

Podemos escrever este resultdo da seguinte forma:

“Para que a norma da soma de dois vetores seja igual a soma das normas, então o produto escalar dos vetores deve ser igual ao produto das normas.”

Passo 2

Agora vamos olhar mais um pouco o resultado:

u → ⋅ v → = u → ⋅ v →

E vamos dividir os dois lados por u → ⋅ v →

u → ⋅ v → u → ⋅ v → = u → ⋅ v → u → ⋅ v →

Simplificando:

u → ⋅ v → u → ⋅ v → = 1

A expressão do lado esquerdo representa o ângulo entre os vetores: cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → ⋅ v → .

Então podemos dizer que:

cos ⁡ θ = 1

θ = 0

O resultado pode ser expresso em palavras da seguinte forma:

“Para que a norma da soma de dois vetores seja igual a soma das normas, então os vetores devem ser paralelos entre si.”

Resposta

Da expressão u → + v → = u → + v → podemos tirar duas conclusões:

  • Produto escalar dos vetores deve ser igual ao produto das normas: u → ⋅ v → = u → ⋅ v →
  • Os vetores são paralelos entre si: u → ∥ v →
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados