Exercícios de Coordenada - Lista de Exercícios Resolvida

Seja um espaço vetorial e e duas bases distintas de .

Sejam e dois vetores distintos de .

Denotamos as coordenadas de em relação à base por .

Podemos sempre afirmar que:

Seja uma base do . Mostre que se são tais que

então é uma base de .

1. Existe alguma base de tal que, ?
2. É possível encontrar uma segunda base também satisfazendo ?

No espaço vetorial de , consideraremos a seguinte base . Determinar as coordenadas de em relação à base se:

O conjunto é uma base do . Escreva o vetor genérico do como combinação linear de .

Seja um espaço vetorial e e duas bases distintas de .

Sejam e dois vetores distintos de .

Denotamos as coordenadas de em relação à base por .

Podemos sempre afirmar que:

Se as coordenadas de um vetor na base são , então as coordenadas de na base canônica são:

Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de . Sejam e considere os planos dados pelas equações

no sistema de coordenadas . Se for uma reta, então poderemos afirmar que:

a) e

b) e

c) e

d) e

e) e

Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de , e sejam e as retas dadas pelas equações:

e

no sistema de coordenadas Seja a reta que passa pelo ponto e que intersecta as retas e . Se for o ponto na intersecção de e , então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Calcule a primeira coordenada do vetor na base :

a)

b)

c)

d)

e) Não sei

Seja gerado por . Sabendo que uma base de possui dois elementos, assinale a resposta CORRETA:

Todos os conjuntos são linearmente independentes.

Um dos conjuntos é linearmente independente.

Um dos conjuntos é linearmente dependente.

Um dos conjuntos é linearmente dependente.

Seja um espaço vetorial de dimensão . Considere as seguintes afirmações:

Se é um subconjunto linearmente independente de , então podemos encontrar em , tal que é linearmente independente.

Todo subconjunto de com mais do que vetores é gerador de .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

Seja uma base ortonormal de e considere os vetores e . Sejam tais que , com paralelo a e ortogonal a . Se , então é igual a

Seja uma base de e considere a base de , em que

Se , então a soma das coordenadas de em relação à base vale

Sejam vetores gerando um espaço vetorial .

Sejam , vetores linearmente independentes.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

Considere os planos e de equações cartesianas

(b) Considere o conjunto de vetores

os vetores que estão escritos na base canônica. Mostre que é uma base de .

(c) Considere o vetor v cujas coordenadas na base são

Determine as coordenadas de v na base canônica.

Considere o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e de grau até 2 e seja uma base de

1. Seja Determine
2. Seja tal que Determine
3. Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

Se então

Dentre os vetores abaixo, assinale aquele cuja soma das coordenadas na base é mínima.

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja . Considere as afirmações.

(I) Existe um vetor não nulo tal que suas coordenadas na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base .

(II) Existe um vetor não nulo tal que suas coordenadas na base canônica são o triplo de suas coordenadas na base .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Sejam e duas bases. Se , e e , determine as coordenadas de em relação à base .

Considere os vetores , e no paralelepípedo da figura.

a) Justifique por que é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor na base .

c) Determine as coordenadas do vetor na base .

Considere um tetraedro e seja um ponto tal que

a) Explique por que pertence à face .

b) Mostre que as coordenadas de na face são .

Em uma pirâmide regular tendo como base o quadrado e o vértice , considere a sequência de vetores e o ponto , projeção ortogonal do vértice na base da pirâmide.

a) Justifique por que é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor na base .

Sejam uma base de e os vetores e . Se as coordenadas na base destes vetores são e , então é:

a)

b)

c)

d)

e) Não sei.

Defina a base do . Se as coordenadas do vetor na base são , então o valor de é:

a) 11

b) 9

c) 10

d) 13

e) Não sei.

Seja

A dimensão de é igual a:

1

2

3

4

Qual dentre as proposições abaixo é VERDADEIRA?

Todo conjunto gerador de contém os vetores e .

O espaço gerado pelos vetores é .

O conjunto gerador de um espaço está contido em .

Cada vetor de pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores e .

Detemine a dimensão do conjunto abaixo:

Encontre as - coordenadas do vetor

Seja o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

A) Encontre a matriz de mudança de base da base para a base canônica , e a matriz mudança de base da base canônica para a base

B) Encontre as B-coordenadas do vetor .

Considere no espaço um trapézio ABCD, em que AB, BC, CD e AD são lados desse trapézio e os lados AD e BC são paralelos, como ilustrado na figura abaixo:

Seja M o ponto do segmento CD tal que . Suponha que:

E que as medidas dos ângulos e sejam iguais a . Seja um vetor não paralelo ao plano que contém o trapézio ABCD e considere a base

De . As coordenadas do vetor na base B são:

Seja uma base de e considere a base de , em que

Dado , as coordenadas de em relação à base são

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Seja uma base de . Se então a soma das coordenadas de na base é:

Seja o conjunto dos vetores de tais que a soma de suas duas primeiras componentes é igual a . Calcule a dimensão de :

Se as coordenadas de um vetor na base são , então as coordenadas de na base canônica são:

Determine qual dos conjuntos abaixo gera

Calcule as coordenadas de na base

(a)

(b)

(c)

(d)

Suponha que queiramos escrever como combinação linear de e . Assinale a alternativa correta:

Encontraremos uma infinidade de possibilidades para os coeficientes dessa combinação.

Teremos uma única solução para os coeficientes dessa combinação.

Não encontraremos coeficientes para essa combinação linear.

Encontraremos duas possibilidades para os coeficientes dessa combinação.

Considere fixadas uma orientação no espaço e uma base ortonormal positiva de . Sejam e considere os vetores:

Se , então é igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Seja o conjunto dos polinômios da forma que satisfazem . A dimensão de é:

não está definida, pois não é subespaço.

Seja

a matriz da transformação linear (em relação à base canônica). Se o vetor x tem coordenadas (1,1) em relação à base , então vale:

(a) (3,3,-1)

(b) (3,3,-2)

(c) (2,1,-1)

(d) (2,1,1)

Considere o ponto , o plano

E a reta

Se é o ponto de tal que , então a soma das coordenadas de é igual a: