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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 33c

Determinar o ângulo entre os seguintes planos:

pi_1 : 3 x + 2 y - 6 = 0 e pi_2 : p l a n o x O z

Passo 1

Em questões de ângulos entre planos, vamos usar a equação

cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

Pelo arranjo geométrico, o ângulo entre as normais dos planos é o mesmo ângulo entre os planos e, para acharmos as normais, vamos usar de uma relação.

As coordenadas das normais estão nos coeficientes que multiplicam as variáveis na equação de pi .

Passo 2

Para acharmos as coordenadas das normais, vamos analisar a equação do plano.

pi_1 : 3 x + 2 y - 6 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 3 , 2 e 0, as coordenadas da normal vec n_1 são vec n_1 = ( 3 , 2 , 0 ) .

Analisando pi_2 : p l a n o x O z , temos um análogo ao pi_2 : 0 x + y + 0 z = 0 . Os escalares que multiplicam x , y e z sendo 0 , 1 e 0 . Assim, as coordenadas da normal vec n_2 são vec n_2 = (0 , 1 , 0)

Passo 3

Por fim, vamos aplicar esses vetores na equação cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

cos (theta) = (|( 3 , 2 , 0 ) * (0 , 1 , 0)|)/(|( 3 , 2 , 0 )| * |(0 , 1 , 0)|)

cos (theta) = (|0 + 2 + 0|)/(sqrt(3^2 + 2^2 + 0^2) * sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2))

cos (theta) = (|2|)/(sqrt(13) * sqrt(1))

cos (theta) = (2)/(sqrt(13)) -> theta = a r c o s ((2)/(sqrt(13)))

Pronto, era isso que a questão pedia! \o/

Resposta

theta = a r c o s ((2)/(sqrt(13)))

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32- O vértice de uma pirâmide regular é P = 3 2 , 1 2 , 1 2 e sua base é um quadrado A B C D de centro Q , contido em O x y . Um dos lados do quadrado tem extremidades B = ( 1,0 , 0 ) e C = ( 1,1 , 0
Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem O = 0,0 , 0 e forma ângulos de 60° com a reta r : X = 1,1 , 1 + λ 0,1 , - 1 e com o plano π : x - y + 4 = 0 .