Enunciado

32- O vértice de uma pirâmide regular é P = 3 2 , 1 2 , 1 2 e sua base é um quadrado A B C D de centro Q , contido em O x y . Um dos lados do quadrado tem extremidades B = ( 1,0 , 0 ) e C = ( 1,1 , 0 ) e A C é uma diagonal. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta P Q e forma ângulo de 60 ° com o plano P A B .

Passo 1

Pelos dados da questão o quadrado A B C D está no plano x y e esses quatro pontos valem:

B = ( 1,0 , 0 )

C = ( 1,1 , 0 )

D = ( 2 , 1,0 )

A = ( 2 , 0,0 )

Uma vez que os pontos B e C em ordem nos entregam um quadrado de lado 1 e o ponto P que é o vértice deve estar no ponto médio dos pontos A B C D no plano x y . Sem contar que temos uma pirâmide regular.

Logo a reta P Q será uma reta igual a:

Q = 3 2 , 1 2 , 0

P Q = 3 2 , 1 2 , 1 2 + λ 0,0 , - 1 2

Passo 2

As equações planares de P Q serão iguais a:

x = 3 2 → x - 3 2 = 0

y = 1 2 → y - 1 2 = 0

z = 1 2 - λ 2 → p o u c o   n o s   i n t e r e s s a

Portando o feixe de planos que contém a reta P Q serão iguais a:

α x - 3 2 + β y - 1 2 = 0

α x + β y - 3 2 α + 1 2 β = 0

E um vetor normal para esse plano será:

n → = ( α , β , 0 )

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor normal no plano formado pelos pontos P A B , sabendo que ele tem uma equação geral de:

a x + b y + c z + d = 0

Aplicando os pontos teremos:

A = ( 2,0 , 0 )

B = ( 1,0 , 0 )

P = 3 2 , 1 2 , 1 2

2 a + d = 0

a + d = 0

3 2 a + 1 2 b + 1 2 c + d = 0

Diminuindo a primeira equação pela segunda nós encontraremos a = 0 , logo:

a = d = 0

e

b + c = 0 → b = - c

Ou algo como:

y - z = 0

Portanto um vetor normal para o plano P A B será:

( 0,1 , - 1 )

Passo 4

Como os dois vetores formam entre si um ângulo de 60 ° então:

cos ⁡ 60 = α , β , 0 ⋅ 0,1 , - 1 | | ( α , β , 0 | | ⋅ | 0,1 , - 1 |

1 2 = β α 2 + β 2 ⋅ 2

Elevando ao quadrado os dois lados nós teremos:

α 2 + β 2 2 = β 2

α 2 = β 2

α = β

Então β pode ser igual a ± α , aplicando isso em α x + β y - 3 2 α + 1 2 β = 0   , nós teremos:

Para   α = β

α x + α y - 3 2 α + 1 2 α = 0

x + y - 2 = 0

Para β = - α :

α x - α y - 3 2 α - 1 2 α = 0

x - y - 1 = 0

Já temos os dois planos :D

Plotando os pontos e os gráficos dos planos nós teremos:

Esses planos passam pelas diagonais do quadrado.

Resposta

x + y - 2 = 0

e

x - y - 1 = 0

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Determinar o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre os planos. π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0 e π 2 : 4 x + 5 y + 3 z + 2 = 0
Determina o ângulo entre os seguintes planos: b) π 1 : x + 2 y - 6 = 0e π 2 : y = 0
Determina o ângulo entre os seguintes planos: b) π 1 : x = 1 + h - t y = h + 2 t z = he π 1 : x = 2 + t y = - 2 h z = h + t
Determina o ângulo entre os seguintes planos: b) π 1 : x - y + 4 = 0e π 2 : 2 x - y - z = 0
32. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:a) π 1 : x - 2 y + z - 6 = 0 e π 2 : 2 x - y - z + 3 = 0