Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 39
Determinar as equações reduzidas, em termos de , da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano
Passo 1
O enunciado fala de uma reta que passa passa por um ponto e é perpendicular ao plano . Assim, o vetor diretor dessa reta será o vetor normal ao plano.
Passo 2
Para acharmos as coordenadas da normal, vamos analisar a equação do plano.
Como os escalares que multiplicam e são, respectivamente, 1 e 2, as coordenadas da normal são .
Como o vetor diretor é normal ao plano, ele será igual ao vetor normal . Assim,
Passo 3
Temos que achar a equação reduzida na forma . Para isso, vamos aproveitar que temos o vetor diretor e o vetor normal para extrairmos a equação reduzida da paramétrica.
Assim, vamos primeiro achar uma equação da reta na forma
Onde e
Analisando as coordenadas do ponto e do vetor diretor , temos:
Tomando esses pontos, a equação paramétrica da reta fica
Passo 4
Para extrairmos a equação reduzida da paramétrica, vamos pegar as duas primeiras equações e fazer algumas operações para eliminarmos o parâmetro .
Elas serão apresentadas como feitas nas equações para primeira equação e para a segunda equação.
Encontramos a primeira parte da equação reduzida isolando o .
Temos que achar a segunda.
Passo 5
Vamos repetir o mecanismo do Passo 4 só que com as equações
Assim, encontramos as duas partes da equação reduzida. Juntando, temos:
Com isso, encerramos a questão.