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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 33

O quadrado A B C D é uma face e C E é uma aresta de um cubo de diagonal A E . Obtenha uma equação geral do plano que contém A E e forma ângulo de 60 ° com a face A B C D , sabendo que A = 2,2 , 0 ,   C = 0,2 , 0 ,   E = 0,2 , 2

Passo 1

A distância da diagonal desse cubo é a distância entre os pontos A e E :

d A , E = 2 2 + 0 2 + 2 2 = 6

Portanto os lados desse cubo serão de:

l 2 + 2 l 2 = 6 → l = 2

Onde A C será uma diagonal da face desse cubo, aí a parada é encontrar uma forma mais ou menos de ver onde estão esses pontos B e D do quadrado. Pra isso nada melhor que um desenho.

Como C E está totalmente direcionado para z , então os pontos A B C D estarão no plano x y , e que pode ser visto como o plano z = 0 , então o vetor normal a esse plano será

( 0,0 , 1 )

Passo 2

Calculando o plano formado pela reta A E nós teremos:

E = A + λ A E →

E = 2,2 , 0 + λ - 2 , 0 , 2

Portanto as equações planares serão:

x = 2 - 2 λ

y = 2 → y - 2 = 0

z = λ 2 → λ = z 2 2

x + z 2 - 2 = 0

Portando esse plano terá uma equação genérica de:

α x + z 2 - 2 + β y - 2 = 0

α x + β y + α 2 z - 2 α - 2 β = 0

Portanto o vetor normal desse plano será:

α , β , a 2

Passo 3

Calculando agora o ângulo entre os dois planos nós teremos:

cos ⁡ 60 = α , β , α 2 ⋅ 0,0 , 1 α , β , a 2 ⋅ 0,0 , 1

1 2 = a 2 a 2 + β 2 + 2 a 2

1 4 = 2 a 2 3 a 2 + β 2

3 a 2 + β 2 = 8 a 2

β 2 = 5 α 2

β = ± a 5

Aplicando β = α 5 na equação do plano que contém A E nós teremos:

α x + a 5 y + α 2 z - 2 α - 2 a 5 = 0

Logo o primeiro plano terá equação igual a:

x + 5 y + 2 z - 2 - 2 5 = 0

E aplicando β = - α 5 nós teremos:

α x - α 5 y + α 2 z - 2 α + 2 a 5 = 0

x - 5 y + 2 z - 2 + 2 5 = 0

Resposta

x + 5 y + 2 z - 2 - 2 5 = 0

E

x - 5 y + 2 z - 2 + 2 5 = 0

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