Sejam A = 1,0 , 0 ,   B = 0,2 , 0 ,   C = 0,0 , 3 ,   π 1 : 6 x + 3 y + 2 z + 3 = 0 e π 2 : 6 x + 3 y + 2 z - 3 = 0 . Verifique se os planos interceptam o tetraedro O A B C .

Passo 1

O plano π 1 intercepta os eixos coordenados nos seguintes pontos:

No eixo x ( y = 0 e z = 0 ):

6 x + 3 = 0 → x = - 1 2

No eixo y ( x = 0 e z = 0 ):

3 y + 3 = 0 → y = - 1

No eixo z ( x = 0 e y = 0 ):

2 z + 3 = 0 → z = - 3 2

E esses pontos formam um tetraedro que está fora do tetraedro mencionado no enunciado (o ponto O é a origem ok?):

Esses pontos estão em rosa no gráfico acima (pontos D, E e F), e na imagem podemos ver que realmente o plano não corta o tetraedro.

Passo 2

Já encontrando os pontos no qual o plano atravessa os eixos ordenados nós teremos:

x = 1 2

y = 1

z = 3 2

E esses pontos estão dentro do tetraedro (o ponto A é mais distante da origem que 1 / 2 , B mais distante que 1 / 3 e C mais distante da origem que 3 / 2 , bastava apenas um desses pontos ser mais distante para o plano atravessar o tetraedro na real.

A imagem acima deve deixar as coisas mais claras.

Resposta

Apenas o plano π 2 atravessa o tetraedro.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados