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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 33b

Determinar o ângulo entre os seguintes planos:

pi_1 : 2 x - 2 y + 1 = 0 e pi_2 : 2 x - y - z = 0

Passo 1

Em questões de ângulos entre planos, vamos usar a equação

cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

Pelo arranjo geométrico, o ângulo entre as normais dos planos é o mesmo ângulo entre os planos e, para acharmos as normais, vamos usar de uma relação.

As coordenadas das normais estão nos coeficientes que multiplicam as variáveis na equação de pi .

Passo 2

Para acharmos as coordenadas das normais, vamos analisar a equação do plano.

pi_1 : 2 x - 2 y + 1 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 2 , - 2 e 0, as coordenadas da normal vec n_1 são vec n_1 = ( 2 , - 2 , 0 ) .

Analisando pi_2 : 2 x - y - z = 0 , temos os escalares que multiplicam x , y e z sendo 2 , - 1 e - 1 . Assim, as coordenadas da normal vec n_2 são vec n_2 = (2 , - 1 , - 1)

Passo 3

Por fim, vamos aplicar esses vetores na equação cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

cos (theta) = (|vec n_1 * vec n_2|)/(|vec n_1| * |vec n_2|)

cos (theta) = (|( 2 , - 2 , 0 ) * (2 , - 1 , - 1)|)/(|( 2 , - 2 , 0 )| * |(2 , - 1 , - 1)|)

cos (theta) = (|4 + 2 - 0|)/(sqrt(2^2 + ( - 2 )^2 + 0^2) * sqrt(2^2 + ( - 1 )^2 + (- 1)^2))

cos (theta) = (|6|)/(sqrt(8) * sqrt(6))

cos (theta) = (6)/(2 sqrt(2) * sqrt(6)) -> cos (theta) = (3)/(sqrt(12))

cos (theta) = (3)/(sqrt(12)) -> cos (theta) = (3)/(2 sqrt(3))

cos (theta) = (3)/(2 sqrt(3)) -> cos (theta) = (3 sqrt(3))/(2 * 3)

cos (theta) = (sqrt(3))/(2) :. theta = 30 °

Pronto, era isso que a questão pedia.

Resposta

theta = 30 °

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