Enunciado

Determinar a e b , de modo que os planos

π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0 e π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0

Sejam perpendiculares.

Passo 1

Em questões de planos perpendiculares, o procedimento é igualar o produto escalar dos vetores normaisa zero. Assim: coordenadas das normais entre si. Assim:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Passo 2

Para acharmos as coordenadas das normais, vamos analisar a equação do plano.

π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 2 m ,   2 e - 1 , as coordenadas da normal n 1 → são n 1 → = ( 2 m ,   2 ,   - 1 ) .

Analisando π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0 , temos os escalares que multiplicam x , y e z sendo 3 ,   - m e 2 . Assim, as coordenadas da normal n 2 → são n 2 → = 3 ,   - m ,   2

Passo 3

Vamos fazer o produto escalar desses vetores e achar uma relação com m :

n 1 → ∙ n 2 → = 2 m ,   2 ,   - 1 ∙ 3 ,   - m ,   2

n 1 → ∙ n 2 → = 2 m × 3 + 2 × ( - m ) + - 1 × 2

n 1 → ∙ n 2 → = 6 m - 2 m - 2

n 1 → ∙ n 2 → = 4 m - 2

Passo 4

Por fim, vamos igualar essa relação 4 m - 2 a zero para que n 1 → ∙ n 2 → = 0   como falamos no Passo 1:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

4 m - 2 = 0

4 m = 2

m = 1 2

Pronto. Chegamos ao fim da questão!

Resposta

m = 1 2

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Estude a posição relativa da reta x - 1 2 =y + 3 2 = z - 1 - 3 e o plano x + 2 y+2 z+6=0 .Determine o ponto de interseção ou a distância entre eles.
Dados: a reta r { x = y = z e o plano π { 3 x+ 2 y-z- 14=0 , escreva equações paramétricas da reta r ' , projeção ortogonal de r sobre π .
x+y - z+4 = 0 ⎨ x+ 2 y-4 z+ 9=0 são as equações de dois planos. Explique porque os planos não são paralelos e escreva, na forma paramétrica, equações da reta interseção desses planos.
Dê um ponto e um vetor diretor da reta relativa da reta r , interseção dos planos 2 x+2 y - z+4 = 0 ⎨ x- 2 y-2 z- 1=0 .A reta r tem um ponto de ordenada 3( y = 3 ) ? Qual?
a) Mostre que os planos x - y = 0 e y - z = 1 se interceptam segundo uma reta r .