Enunciado

Existem dois planos π 1 e π 2 tais que cada um contém a reta t : X = - 1,4 , 0 + λ 1,2 , 3 e forma ângulos congruentes com as retas r : X = 0,0 , 0 + λ 1,1 , 1 e s : X = - 1,2 , 3 + λ 1,1 , - 1 . Calcule a medida angular entre π 1 e π 2 .

Passo 1

Vamos começar procurando a equação geral dos planos que contém a reta t .

A ideia é a seguinte, se uma reta é a interseção de dois planos com equações f x , y , z = 0 e g x , y , z = 0 , então:

α   f x , y , z + β   g x , y , z = 0

É a equação do feixe de planos que contém t .

Então nosso primeiro objetivo é encontrar as equações planares (os planos de equações f e g ) que produzem a nossa reta.

Pra isso é só dar uma olhada nessa parametrização aqui:

- 1,4 , 0 + λ 1,2 , 3         ⇒           x = - 1 + λ y = 4 + 2 λ z = 3 λ

Então isolando λ em todas as equações:

x = - 1 + λ y = 4 + 2 λ z = 3 λ         ⇒           λ = x + 1 λ = ( 1 / 2 ) y - 4 λ = z / 3

Então, usando λ = λ , podemos escrever nossa reta como:

x + 1 = z / 3 y - 4 2 = x + 1         ⇒         3 x + 3 - z = 0 2 x - y + 6 = 0          

Usando aquela regra que falamos logo no início, a equação do feixe de planos que contém essa reta é:

α 3 x + 3 - z + β 2 x - y + 6 = 0

Passo 2

Vamos abrir um pouco essa equação para encontrar o vetor normal ao plano:

3 α + 2 β x - β y - α z + 6 β + 3 α = 0

Então o vetor normal ao plano é:

n → = 3 α + 2 β , - β , - α

Agora vamos lembrar da fórmula para calcular o ângulo entre uma reta e o plano.

Se a reta tem vetor diretor r → e o plano tem vetor normal n → , então:

d π , r = n → ∙ r → n → r →

No enunciado temos os seguintes vetores diretores:

r → = 1,1 , 1         ⇒           r → = 3

s → = 1,1 - 1         ⇒             s → = 3

Então os produtos internos são:

n → ∙ r → = 3 α + 2 β , - β , - α ∙ 1,1 , 1 = 3 α + 2 β - β - α = 2 α + β

n → ∙ s → = 3 α + 2 β , - β , - α ∙ 1,1 , - 1 = 3 α + 2 β - β + α = 4 α + β

Então, se as duas distância forem iguais:

d π , r = d π , s

n → ∙ r → n → r → = n → ∙ s → n → s →

Multiplicando tudo por n → e substituindo os outros valores:

2 α + β 3 = 4 α + β 3

Ou seja:

2 α + β = 4 α + β

Passo 3

Quais são as soluções dessa equação?

2 α + β = 4 α + β

Vamos lembrar da definição de módulo:

x = x ,     x > 0 - x ,     x < 0

Então temos duas equações implícitas ali. Na primeira as dus equaçãos tem o mesmo sinal:

2 α + β = 4 α + β

- 2 α = 0

α = 0

E na segunda elas tem sinais diferentes:

2 α + β = - 4 α - β

6 α = - 2 β

α = - 1 3 β

Ou seja, nossas duas soluções são α = 0 e α = β . Voltando na nossa equação do feixe de planos, isso significa que a primeira solução é:

π 1 :             0 3 x + 3 - z + β 2 x - y + 6 = 0

π 1 :             2 x - y + 6 = 0

E a segunda solução é:

π 2 :             - 1 3 β 3 x + 3 - z + β 2 x - y + 6 = 0

Dividindo tudo por β :

π 2 :             - 1 3 3 x + 3 - z + 2 x - y + 6 = 0

π 2 :           - x - 1 + 1 3 z + 2 x - y + 6 = 0

π 2 :           x + 1 3 z - y + 5 = 0

Agora queremos calcular o ângulo entre esses dois planos.

Passo 4

Os nossos planos são:

π 1 :             2 x - y + 6 = 0

π 2 :             x + 1 3 z - y + 5 = 0 = 0

E os vetores normais a eles são:

n → 1 = 2 , - 1,0

n → 3 = 1 , - 1 , 1 3

Lembrando que para encontrar o vetor normal é só olhar os coeficientes da equação do plano!

Agora o ângulo entre eles segue a seguinte fórmula:

cos ⁡ θ = n → 1 ∙ n → 2 n → 1 n → 2

cos ⁡ θ = 2 , - 1,0 ∙ 1 , - 1 , 1 / 3 2 2 + - 1 2 + 0 2   .   1 2 + - 1 2 + 1 / 3 2  

cos ⁡ θ = 2 + 1 5   .   19 9  

cos ⁡ θ = 3   95 9   = 9 95

Ou seja, o ângulo entre os planos é:

θ = arcos ⁡ 9 95

Resposta

O ângulo é θ = arcos ⁡ 9 95 .

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Calcule a medida angular entre os planos π 1 e π 2 .b) π 1 : X = 1 ,0 ,0 + λ 1 ,0 ,1 + μ - 1 ,0 ,0 π 2 : x + y + z = 0
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