Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 31
Existem dois planos e tais que cada um contém a reta : e forma ângulos congruentes com as retas e . Calcule a medida angular entre e .
Passo 1
Vamos começar procurando a equação geral dos planos que contém a reta .
A ideia é a seguinte, se uma reta é a interseção de dois planos com equações e , então:
É a equação do feixe de planos que contém .
Então nosso primeiro objetivo é encontrar as equações planares (os planos de equações e ) que produzem a nossa reta.
Pra isso é só dar uma olhada nessa parametrização aqui:
Então isolando em todas as equações:
Então, usando , podemos escrever nossa reta como:
Usando aquela regra que falamos logo no início, a equação do feixe de planos que contém essa reta é:
Passo 2
Vamos abrir um pouco essa equação para encontrar o vetor normal ao plano:
Então o vetor normal ao plano é:
Agora vamos lembrar da fórmula para calcular o ângulo entre uma reta e o plano.
Se a reta tem vetor diretor e o plano tem vetor normal , então:
No enunciado temos os seguintes vetores diretores:
Então os produtos internos são:
Então, se as duas distância forem iguais:
Multiplicando tudo por e substituindo os outros valores:
Ou seja:
Passo 3
Quais são as soluções dessa equação?
Vamos lembrar da definição de módulo:
Então temos duas equações implícitas ali. Na primeira as dus equaçãos tem o mesmo sinal:
E na segunda elas tem sinais diferentes:
Ou seja, nossas duas soluções são e . Voltando na nossa equação do feixe de planos, isso significa que a primeira solução é:
E a segunda solução é:
Dividindo tudo por :
Agora queremos calcular o ângulo entre esses dois planos.
Passo 4
Os nossos planos são:
E os vetores normais a eles são:
Lembrando que para encontrar o vetor normal é só olhar os coeficientes da equação do plano!
Agora o ângulo entre eles segue a seguinte fórmula:
Ou seja, o ângulo entre os planos é:
Resposta
O ângulo é .