Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 32a
32. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
a) e
Passo 1
Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo 6 do Winterle, temos que o ângulo entre dois planos é dado pela seguinte equação:
Que é basicamente a equação do produto escalar entre dois vetores que aprendemos lá no segundo capítulo do Winterle! Conhecendo a equação que determina o ângulo, é fácil notar que precisamos determinar quem são esses vetores e , não é mesmo? Show! Temos que a expressão geral do plano é essa aqui ó:
Onde os coeficientes das coordenadas, ou seja, são as componentes de um vetor normal ao plano. Esses vetores e são exatamente esses vetores normais ao plano, galera! Dessa forma, uma vez que temos as equações dos planos, fica tranquilão determinarmos esses vetores normais!
Então bora que bora!
Passo 2
As equações que temos são:
e
Do primeiro plano, temos que os coeficientes são:
Logo:
Já do segundo plano, temos que os coeficientes são:
Logo:
Show de bola!
Passo 3
Agora que encontramos nossos vetores, vamos encontrar seus módulos, ok? Para o primeiro vetor:
E para o segundo vetor:
Agora substituindo na equação que determina o ângulo entre os planos (que discutimos lááá no passo 1):
E esse é o ângulo entre os planos, galera! 😉