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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 18

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértices A 0 , ± 5 , excentricidade 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como o vértice está no eixo O y , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O y , assim vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e como os vértices são A 0 , ± 5 o valor de a é a = 5 , e a excentricidade é calculada por:

e = c a

Vamos então encontrar o valor de a :

e = c a → 2 = c 5 → c = 10

Para achar a equação da hipérbole só nos falta encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 10 2 = 5 2 + b 2 → 100 = 25 + b 2 → b 2 = 75 → b = 75

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 0 2 5 2 - x - 0 2 75 2 = 1 → y 2 25 - x 2 75 = 1 → 3 y 2 - x 2 75 = 75 75 →

→ 3 y 2 - x 2 - 75 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, temos então que como a distância do centro aos focos é o valor c = 10 , temos então que as coordenadas y deles são:

0 + 10 = 10

0 - 10 = - 10

E a x é constante e igual a 0 , assim os focos são F 1 0 , 10 e F 2 0 , - 10 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 3 y 2 - x 2 - 75 = 0 :

Resposta

3 y 2 - x 2 - 75 = 0

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Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.11. x 2 - 9 y 2 = 1
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.12. 2 y 2 - 4 x 2 = 1